伽利略的相對性原理

伽利略的相對性原理
國立臺灣大學應用物理博士班張智豪

伽利略的相對性原理是說明慣性參考座標與物理定律的原理。伽利略的相對性原理說所有物理定律不會因為慣性參考座標改變而改變。所謂慣性參考座標是指某一個人在空間上的某一點，而這個人以某個等速度 $$V$$ 在運動，然後我們以這個人的角度去觀察這個世界，那我們就是以這個人做為慣性參考座標去觀察這個世界。

物理定律是指所有物體必須遵守的定律，例如 $$F=ma, (GMm)/r^2=F$$, 作用力=反作用力 等等都是物體所必須遵守的物理定律，而我們以某個慣性參考座標去觀察這個世界的話， 我們會發現不管我們用哪個慣性參考座標去觀察這世界，這些定律的形式都還是會一樣的，不會因為換了個慣性參考座標，物理定律就有所改變。(以等速運動的座標才可以作為慣性參考座標 ,變速運動就不是慣性參考座標。)

接下來我們舉一些數學式計算的例子來說明伽利略的相對性原理。

慣性座標轉換公式：

首先是位移的轉換  $$r =r’+ d$$ , 其中 $$d$$ 是新慣性參考座標原點與原本慣性座標原點的相對位置，$$r$$ 是被觀察的物體在原慣性座標的位置， $$r’$$ 是在新慣性座標所觀察到的物體的位置。

接著是速度的轉換 $$u = u’+v$$, $$ v$$ 是新慣性參考座標與原本慣性座標的相對速度，$$u$$ 是被觀察的物體在原慣性座標的移動速度，$$u’$$ 是在新慣性座標所觀察到的物體的速度。

以上的 $$v , u , u’ , r , d , r’$$ 皆為向量。

舉例說 : 一個質量為 $$m$$ 的物體在一個質量很大(為 $$M$$)的物體之萬有引力作用下運動，則描述其運動的物理定律公式為 ：

在慣性原座標寫下這公式 :

$$\displaystyle \frac{GMm}{\left|r_m-r_M \right|^2}=F=m\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{t}}$$

透過慣性座標轉換公式後在新慣性座標之下寫出這公式，結果是

$$\displaystyle \frac{GMm}{\left|(r_m+d)-(r_M+d) \right|^2}=F=m\frac{\mathrm{d}(u’+v)}{\mathrm{t}}$$

$$\displaystyle \Rightarrow\frac{GMm}{\left|r_m-r_M \right|^2}=F=m\frac{\mathrm{d}u’}{\mathrm{t}}+m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{t}}$$

可是  $$v$$ 是一個常數向量，因為兩個座標系之間的相對速度不隨時間改變，所以

$$\displaystyle \Rightarrow\frac{GMm}{\left|r’_m-r’_M \right|^2}=F=m\frac{\mathrm{d}u’}{\mathrm{t}}$$

結果得出同樣形式的運動公式。所以在這例子中，於萬有引力的作用下之物體運動所滿足的物理定律，其形式不變，這正符合伽利略的相對性原理。

另外 由於所有物理定律在所有慣性參考座標的形式都是一樣的，所以我們無法說哪個慣性座標比較特別 ，而可以拿來當作絕對參考座標，這是伽利略相對性原理所寓意的。但因為加速度會改變物理定律公式的形式 (例如非慣性座標需要對所觀察到的物體的加速度加上一項虛擬加速度)，所以我們可以說非慣性座標有別於慣性座標，因此慣性座標可以作為非慣性座標的絕對參考座標。