橢圓的參數式

橢圓的參數式
臺北市立西松高中 蘇惠玉教師

圓的參數式

在二上的三角單元教學中，我們曾經學習過利用三角函數將直角坐標系上的點坐標，轉換成極坐標。對每一個直角坐標系統上的點 \(P(x,y)\)，設它與原點的距離 \(\overline{OP}\) 為 \(r=\sqrt{x^2+y^2}\)，
以 \(x\) 軸的正方向為始邊，逆時針旋轉到 \(\overrightarrow{OP}\)（\(\overrightarrow{OP}\) 為終邊）的角度為 \(\theta\)，
因此 \(P\) 點的極坐標表示為 \(P[r,\theta]\)。

既然同一點的坐標有兩種表徵，那麼直角座標與極坐標之間又該如何轉換呢？此時由廣義角的三角函數值定義可知 \(\cos\theta=\frac{x}{r},\sin\theta=\frac{y}{r}\)，因此可得 \(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta\)。
亦即直角座標系統中的 \(x\) 與 \(y\) 坐標，可利用三角函數轉換成以極坐標中的 \(r\) 與 \(\theta\) 來表示。

在平面座標系統中，對於一個圓心在原點，半徑為 \(r\) 的圓而言，圓上的動點 \(P(x,y)\) 滿足方程式 \(x^2+y^2=r^2\)；又它到圓心 \(O\)（原點）的距離 \(\overline{OP}=r\)；以 \(x\) 軸的正方向為始邊，逆時針旋轉到 \(\overline{OP}=r\) 的角度為 \(\theta\)，因此可得 \(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta\)。

由於圓上每一點到圓心（原點）的距離皆為固定的半徑 \(r\)，
因此得以僅用一個參數 \(\theta\) 來表示圓上的動點 \(P\)：\(\left\{ \begin{array}{l} x = r\cos \theta \\ y = r\sin \theta \end{array} \right., 0 \le \theta < 2\pi \)

藉由指定參數 \(\theta\) 的範圍，可以用來表示圓的圖形的一部分，

例如以 \(\left\{ \begin{array}{l} x = r\cos \theta \\ y = r\sin \theta \end{array} \right., 0 \le \theta \le \pi\) 來表示一圓心在 \((0,0)\)，半徑為 \(r\) 的圓的上半部。

接下來，當圓的圓心不在原點 \((0,0)\)，而在點 \((h,k)\) 時，僅需要考慮平移即可。

將圓心在 \((0,0)\) 的圓上的每一點沿著向量 \(\vec{v}=(h,k)\) 的方向平移一個向量 \(\vec{v}\) 的長度，

因此可得一圓心在 \((h,k)\) 的圓 \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)，

這個圓上動點的參數式為：\(\left\{ \begin{array}{l} x = h + r\cos \theta \\ y = k + r\sin \theta \end{array} \right.,{\rm{ }}0 \le \theta < 2\pi\)

橢圓的參數式

然而對橢圓而言，卻不能以同樣的方法定義參數式。因為橢圓上的點，到中心的距離是變動的，隨動點的位置而變。因此對中心在原點 \((0,0)\) 的橢圓上的動點 \(P(x,y)\) 而言，若依極坐標的方式定義參數式，得到的 \(x=\overline{OP}\cos\theta,y=\overline{OP}\sin\theta\)（如下圖），將無法僅以一個參數表示橢圓上的動點。那麼我們該如何定橢圓的參數式呢？重點就在於如何決定 \(\theta\)！

我們先以中心在原點的橢圓來討論，其標準式為 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中 \(a>0,b>0\)。

從代數的表徵意義來看，由 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) 聯想到 \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\)，

所以可設 \(\frac{x}{a}=\cos\theta,\frac{y}{b}=\sin\theta\)，

即可得此橢圓的參數式為 \(\left\{ \begin{array}{l} x = a\cos \theta \\ y = b\sin \theta \end{array} \right.,0 \le \theta < 2\pi\)。

但是 \(\theta\) 在哪裡呢？這就要從幾何意義來說明了。

若將此橢圓作伸縮變換，以橢圓中心為伸縮中心，\(x\) 方向伸縮 \(\frac{1}{a}\) 倍，\(y\) 方向伸縮 \(\frac{1}{b}\) 倍，

亦即將橢圓上的動點 \(P(x,y)\) 作此伸縮變換為 \(P'(x’,y’)\)，其中 \(x’=\frac{x}{a},y’=\frac{y}{b}\)。

此時將橢圓變換為一圓心在原點，半徑為1的圓，此圓的方程式為 \(x’^2+y’^2=1\)。

若以 \(x\) 軸的正方向為始邊，逆時針旋轉到 \(\overline{OP’}\) 的角度為 \(\theta\)，可得 \(x’=\cos\theta,y’=\sin\theta\)。

因為 \(x’=\frac{x}{a},y’=\frac{y}{b}\)，

所以橢圓上動點 \(P(x,y)\) 中的 \(x=a\cos\theta,y=b\sin\theta\) (如下圖左)。

此時的 \(\theta\)，也可以這樣考慮，如上右圖：在橢圓的內部作一半徑為 \(b\) 的圓，外部作一半徑為 \(a\) 的圓，過橢圓上動點 \(P(x,y)\) 作一水平線與一鉛直線，與這兩個圓分別交於 \(A\) 點與 \(B\) 點。

先假設 \(A,B\) 都在第一象限，

此時 \(A\) 點坐標為 \(A(\sqrt{b^2-y^2},y)\)，\(B\) 點坐標為 \(B(x,\sqrt{a^2-x^2})\)，

因此 \(\overline{OA}\) 的斜率 \(m_{OA}=\frac{y}{\sqrt{b^2-y^2}}\)，\(\overline{OB}\) 的斜率 \(m_{OB}=\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}\)，

考慮平方相減，\(\frac{{{y^2}}}{{{b^2} – {y^2}}} – \frac{{{a^2} – {x^2}}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2}{y^2} – ({a^2} – {x^2})({b^2} – {y^2})}}{{{x^2}({b^2} – {y^2})}} = \frac{{{x^2}{y^2} – ({a^2}{b^2} – {b^2}{x^2} – {a^2}{y^2} + {x^2}{y^2})}}{{{x^2}({b^2} – {y^2})}} = 0\)

（因為 \(x,y\) 滿足 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)）

亦即 \(m_{OA}=m_{OB}\)，當 \(A,B\) 在其他象限時亦同理。因此可知此時原點 \(O\) 與 \(A,B\) 三點共線。

若以 \(x\) 軸的正方向為始邊，逆時針旋轉到 \(\overleftrightarrow{AB}\) 的角度為 \(\theta\)，

此時 \(A\) 點坐標為 \(A(b\cos\theta,b\sin\theta)\)，\(B\) 點坐標為 \(B(a\cos\theta,a\sin\theta)\)，

故可得 \(P(a\cos\theta,b\sin\theta)\)。也就是說，橢圓 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的參數式為

\(\left\{ \begin{array}{l} x = a\cos \theta \\ y = b\sin \theta \end{array} \right.,0 \le \theta < 2\pi\)

當橢圓的中心不在原點 \((0,0)\)，而在點 \((h,k)\) 時，此時僅需要考慮平移即可。

將中心在原點 \((0,0)\) 的這個橢圓上的每一點沿著向量 \(\vec{v}=(h,k)\) 的方向平移一個向量 \(\vec{v}\) 的長度，因此可得中心在 \((h,k)\) 的橢圓為 \(\frac{{{{(x – h)}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{(y – k)}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)。

這個橢圓上動點的參數式即為：\(\left\{ \begin{array}{l} x = h + a\cos \theta \\ y = k + b\sin \theta \end{array} \right.,{\rm{ }}0 \le \theta < 2\pi\)。