和算中的行列式(5)：拉普拉斯展開法（Determinants in Wasan (5): Laplace Expansion）

和算中的行列式(5)：拉普拉斯展開法（Determinants in Wasan (5): Laplace Expansion）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

連結：和算中的行列式(4)：降階展開法

日本和算家對行列式展開的研究，在關孝和之後有了長足的進展。除了前文介紹過的井關知辰外，本文要介紹另一位和算家久留島義太 (Kurushima Yoshihiro, ?-1757)及其提出的行列式展開法，相當於今日所稱的「拉普拉斯 (Pierre-Simon Laplace, 1749-1827, 法國) 展開法」。

久留島義太屬於天才型的和算家，他對數學的認識並非來自老師的教導，而是從數學書《新篇塵劫記》中自學而來；後來與當時的和算家，特別是關流的和算家進行學術上的交流，豐富其數學研究的主題，並開拓新的研究領域，對後世和算的發展有著深遠的影響。因此，有人將他與關孝和、建部賢弘並稱為三大和算家。據後人的記載，久留島義太生性浪漫，雖然數學造詣很高，但沒有形成自己的門派，也沒有將著作出版，僅以稿本的形式在和算家間傳抄，身後留下《久氏遺書》一部。

《久氏遺書》中的〈算學粹沙〉，討論了三階至六階的行列式展開，提出了新的求法。

以四階為例，他給出了相當於  的展開求法：

若我們將「東夏內去南春」等敘述用行列式符號  來表示，則久留島義太相當於給出

，這其實就是今日所稱的「拉普拉斯展開法」。

在「拉普拉斯展開法」中，每一項前面的運算符號，必須由其行序的置換數目來決定，

偶數的話就為「$$+$$」，奇數的話則為「$$-$$」。

例如 ，由左而右分別來自第 $$2$$、$$4$$、$$1$$、$$3$$ 行，

若每次只能置換兩個，則要將 $$2413$$ 置換成 $$1234$$，

最少需要3次：$$2413\Rightarrow 1423\Rightarrow 1243\Rightarrow1234$$（方法不唯一），

故  前面的運算符號為「$$-$$」。

置換的次數，其實就相當於「逆序」的次數：

數字小的要在左側，違反此原則的就稱為「逆序」。

就以 $$2413$$ 來說，$$2$$ 在 $$1$$ 左邊，故逆序數為 $$1$$；

$$4$$ 在 $$1$$ 和 $$3$$ 的左邊，故逆序數為 $$2$$，所以，逆序數總共是 $$1 + 2 = 3$$。

再以  為例，由左而右分別來自第 $$2$$、$$3$$、$$1$$、$$4$$ 行，

其逆序數總共是 $$2$$，故該項前面的運算符號為「$$+$$」。

再以五階行列式 $$\begin{vmatrix} 1&2&3&4&5\\6&7&8&9&10\\11&12&13&14&15\\16&17&18&19&20\\21&22&23&24&25\\ \end{vmatrix}$$ 為例，其展開式可寫成

$$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 6&7 \end{array}} \right| \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {13}&{14}&{15}\\ {18}&{19}&{20}\\ {23}&{24}&{25} \end{array}} \right| – \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3\\ 6&8 \end{array}} \right| \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {12}&{14}&{15}\\ {17}&{19}&{20}\\ {22}&{24}&{25} \end{array}} \right|$$

$$+\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&4\\ 6&9 \end{array}} \right| \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {12}&{13}&{15}\\ {17}&{18}&{20}\\ {22}&{23}&{25} \end{array}} \right| – \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&5\\ 6&{10} \end{array}} \right| \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {12}&{13}&{14}\\ {17}&{18}&{19}\\ {22}&{23}&{24} \end{array}} \right|$$

$$+\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3\\ 7&8 \end{array}} \right| \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {11}&{14}&{15}\\ {16}&{19}&{20}\\ {21}&{24}&{25} \end{array}} \right| – \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&4\\ 7&9 \end{array}} \right| \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {11}&{13}&{15}\\ {16}&{18}&{20}\\ {21}&{23}&{25} \end{array}} \right| $$

$$+ \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&5\\ 7&{10} \end{array}} \right| \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {11}&{13}&{14}\\ {16}&{18}&{19}\\ {21}&{23}&{24} \end{array}} \right| + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4\\ 8&9 \end{array}} \right| \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {11}&{12}&{15}\\ {16}&{17}&{20}\\ {21}&{22}&{25} \end{array}} \right|$$

$$ – \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&5\\ 8&{10} \end{array}} \right| \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {11}&{12}&{14}\\ {16}&{17}&{19}\\ {21}&{22}&{24} \end{array}} \right| + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&5\\ 9&{10} \end{array}} \right| \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {11}&{12}&{13}\\ {16}&{17}&{18}\\ {21}&{22}&{23} \end{array}} \right|$$

若讀者還覺得意猶未盡的話，

久留島義太書中的六階例子  ，

不妨試試用三階行列式的乘積寫出其展開式。

參考資料

• 徐澤林 (2012). 《和算中源：和算算法及其中算源流》，上海：上海交通大學出版社。
• 楊浩菊 (2004). 《行列式理論歷史研究》，西北大學博士論文。