和算中的行列式(4)：降階展開法（Determinants in Wasan (4): The Reductive Algorithm）

和算中的行列式(4)：降階展開法
（Determinants in Wasan (4): The Reductive Algorithm）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

連結：和算中的行列式(3)：關孝和的《解伏題之法》（下）

關孝和提出相當於今日的行列式求法後，吸引不少和算家相繼投入研究，不僅改正了關孝和算法中的錯誤（當行列式是五階以上時，所求得的值是錯的），也提出了新的算法。本文要介紹的，就是相當於今日高中課堂上俗稱的「降階展開法」，也稱為「范德蒙 (Vandermonde, 1735-1796, 法國) 展開法」。

在目前可見的文獻中，最早寫出這個算法的是井關知辰 (Izeki Tomotoki)。井關知辰在1690年所著的《算法發揮》上卷中，用「陽率」來稱呼行列式，而「陰率」則是行列式展開後的結果。例如，「平陽率」、「立陽率」、「三陽率」分別代表二階、三階、四階行列式，「平陰率」、「立陰率」、「三陰率」則代表對應的行列式展開式。井關知辰在書中最高列出了「四陽率」與「四陰率」，也就是五階行列式及其展開式，並寫下如何展開更高階「陽率」的方法。 

上圖就是井關知辰《算法發揮》中關於「立陽率」與「立陰率」的內容。

若將其改為橫式，並用英文字母表示，就是：，

至於如何展開，請讀者將目光移向上圖左上方的三個 $$3\times 3$$ 方格，

是不是很像今日的降階展開法？將其放大如下。

的確！這就是告訴讀者如何從第一式求出「立陰率」，

用今日的符號來表示的話，就是 $$+ a \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} e&f\\ h&i \end{array}} \right| + ( – b) \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} d&f\\ g&i \end{array}} \right| + c \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} d&e\\ g&h \end{array}} \right|$$

日本京都大學將《算法發揮》全書以圖片的方式放置在其圖書館的網頁中（網址：https://m.kulib.kyoto-u.ac.jp/webopac/bdyview.do?bodyid=RB00000162&elmid=Body&fname=wa3l0001.jpg&loginflg=on&lnkflg=true），有興趣的讀者不妨上網看看，就會看到井關知辰如何用降階的方式寫出更高階行列式的展開式。以下僅呈現「三陰率」（四階行列式展開式）的書頁，我們可以看到井關知辰利用「立陰率」（三階行列式展開式）寫出展開後的 $$24$$ 項，換句話說，就是先將四階行列式展成 $$4$$ 個三階行列式，再將每一個三階行列式展開，故總共有 $$4\times 6=24$$ 項。

雖然關孝和在1683年提出的方法是錯誤的，但很快地，七年後在井關知辰的書中就出現了正確的方法。至於井關知辰與關流是否有何關係？這細節至今仍未可知。事實上，我們連井關知辰的生卒年也不知道，但從其研究行列式的脈絡在於解高次方程式，可以推測他與關流之間或許有學術往來，或是輾轉得知關孝和的研究成果後進而研究它。此外，在同期的另一位和算家田中由真的《双式定格術》中，也可以看到與井關知辰相同的方法。至於關流，則在《大成算經》（關孝和、建部賢明、建部賢弘於1683-1711年間完成）改正了關孝和的方法，採用的也是和井關知辰相同的方法。由此可見，行列式的展開在當時已成為一個研究的主題，吸引了和算家相繼投入研究，因此，我們也就不意外在降階展開法之外，和算家還提出別種展開求法，而這就留待下一篇文章再作介紹了。

連結：和算中的行列式(5)：拉普拉斯展開法

參考資料：

• 徐澤林 (2012). 《和算中源：和算算法及其中算源流》，上海：上海交通大學出版社。
• 楊浩菊 (2004). 《行列式理論歷史研究》，西北大學博士論文。