撲克牌遊戲與機率（二）

撲克牌遊戲與機率（二） (Poker game and the probability II)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

連結：撲克牌遊戲與機率（一） 

〈撲克牌遊戲與機率（一）〉一文中，介紹了撲克牌遊戲─梭哈─的前五種牌型之組合數與出現機率，接下來，本文繼續介紹如何求得其它四種牌型的組合數與機率。最後，表列出各類牌型對應的組合數與機率之實際計算結果，並作一簡單討論與說明。

6. 三條（three of a kind）

所謂的三條指的是 \(5\) 張牌當中，有三張數字相同，另兩張則都不相同。

例如：\(AAAKQ\)、\(99962\)、\(777Q8\) 等皆是，亦即其牌型為 \(aaabc\)。

我們可以利用下述方式計算出其組合數：先從 \(13\) 個數字中選出 \(1\)個作為 \(a\)，

再從其它 \(12\) 個數字中選出 \(2\) 個作為 \(b\) 與 \(c\)（這裡請注意，\(bc\)不需考慮順序，直接一次選取即可。否則若依序選完 \(a\)，再選 \(b\)，再選 \(c\) 會發生重複的情況，例如 \(AAAKQ\) 與 \(AAAQK\)）。

接著，從 \(4\) 種花色的數字 \(a\) 恰選三張：\(C_3^{4}\)，從 \(4\) 種花色的數字 \(b\) 恰選一張：\(C_1^{4}\)，

最後，從 \(4\) 種花色的數字 \(c\) 恰選一張：\(C_1^{4}\)。

如此，利用乘法原理可計算出所有的三條共有：\(C_1^{13}C_2^{12}C_3^{4}C_1^{4}C_1^{4}=54,912\) 種。

其出現的機率為：\(\displaystyle\frac{C_1^{13}C_2^{12}C_3^{4}C_1^{4}C_1^{4}}{C_5^{52}}\)。此值約為 \(0.02113\)。

7. 兩對（two pairs）

所謂的兩對指的是 \(5\) 張牌當中，包含兩組各兩張的相同數字，另一張則不同。

例如：\(AAKKQ\)、\(99662\)、\(QQ778\) 等皆是，亦即其牌型為 \(aabbc\)。

我們可以利用下述的方式計算出其組合數：先從 \(13\) 個數字中選出 \(2\) 個數字作為 \(a\) 與 \(b\)，

再從其它 \(11\) 個數字中選出 \(1\) 個作為 \(c\)（這裡請注意，\(ab\) 不需考慮順序，直接一次選取即可。否則若依序選完 \(a\)，再選 \(b\)，再選 \(c\) 會發生重複的情況，例如 \(AAKKQ\) 與 \(KKAAQ\)）。

接著，從 \(4\) 種花色的數字 \(a\) 恰選二張：\(C_2^4\)，而 \(4\) 種花色的數字 \(b\) 恰選二張：\(C_2^4\)，

最後，從 \(4\) 種花色的數字 \(c\) 恰選一張：\(C_1^4\)。

如此，利用乘法原理可計算出所有的兩對排型共有：\(C_2^{13}C_1^{11}C_2^{4}C_2^{4}C_1^{4}=123,552\) 種。

而其出現的機率為： \(\displaystyle\frac{C_2^{13}C_1^{11}C_2^{4}C_2^{4}C_1^{4}}{C_5^{52}}\)。此值約為 \(0.04754\)。

8. 一對（one pair）

所謂的三條指的是 \(5\) 張牌中，有兩張數字相同，另三張皆不同。

例如：\(AAKQJ\)、\(99762\)、\(77KQ8\) 等皆是，亦即其牌型為 \(aabcd\)。

我們可以下述方式計算其組合數：先從 \(13\) 個數字中選出 \(1\) 個作為 \(a\)，

再從其它 \(12\) 個數字中選出 \(3\) 個作為 \(b\)、\(c\) 與 \(d\)（這裡請注意，\(bcd\) 不需考慮順序，直接一次選取即可。否則若依序選完 \(a\)，再選 \(b\)，再選 \(c\)，再選 \(d\)，會發生重複的情況，例如 \(AAKQJ\) 與 \(AAQKJ\) 等）。

接著，\(4\) 種花色的數字 \(a\) 恰選二張：\(C_2^{4}\)，而 \(4\) 種花色的數字 \(b\) 恰選一張：\(C_1^{4}\)，

\(4\) 種花色的數字 \(c\) 恰選一張：\(C_1^{4}\)，最後，\(4\) 種花色的數字 \(d\) 恰選一張：\(C_1^{4}\)。

如此，利用乘法原理可知，所有的一對共有：\(C_1^{13}C_3^{12}C_2^{4}C_1^{4}C_1^{4}C_1^{4}=1,098,240\) 種。

其出現的機率為：\(\displaystyle\frac{C_1^{13}C_3^{12}C_2^{4}C_1^{4}C_1^{4}C_1^{4}}{C_5^{52}}\)。此值約為 \(0.42257\)。

9. 其它

即非上述 \(8\) 類的牌型，它的組合數為全部的種數 \(C_5^{52}\) 減去前八類的組合數。其機率亦為 \(1\) 減去前 \(8\) 類的機率總和。

最後，表一中筆者實際計算並整理了各牌型的組合數與機率，方便讀者進一步比較。由此亦可看出為何各類各牌型的大小關係需依如此規定。其中，可看出 \(C_5^{52}\) 種可能性中，絕大部份皆為一對或是其它類，光是拿到這兩類牌型的機率加起來就已經超過九成。而拿到順的機率則和一張發票中六獎 \(200\) 元的機率差不多；拿到鐵隻的機率和一張發票中五獎 \(1000\) 元的機率差不多。而同花順最為稀少，拿到的機率僅為百萬分之十五。

表一 各牌型的組合數與機率值表