數學敘述與邏輯量詞 (Mathematical statements and quantifiers)

數學敘述與邏輯量詞 (Mathematical statements and quantifiers)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

高中數學課程中，介紹了什麼是數學敘述，以及「且」、「或」、「非」等邏輯連接詞。一般而言，數學敘述主要都是下列四種型式或其否定型態：

(1) 物件 \(a\) 具有性質 \(P\)。
(2) \(T\) 類中的每個物件，都具有性質 \(P\)。
(3) 存在一個 \(T\) 類中物件，具有性質 \(P\)。
(4) 若敘述 \(A\) 則敘述 \(B\)。

其它的數學敘述，只不過是上述四類形式中的敘述句，再利用「且」、「或」與「非」等邏輯連接詞，重新組合而成的新述句。譬如說吧！我們以中學生熟悉的例子為例作說明：

(1) 「\(2\) 是偶數」、「\(\sqrt{2}\) 是無理數」、「\(\pi\) 不是自然數」以及「二次方程式 \(x^2-3x+2=0\) 有實根」等敘述，都屬於第(1)類或其否定形態。

(2)「所有的偶數，其平方亦為偶數」、「每一個實係數三次方程式必有實根」以及「所有的直角三角形，其兩股平方和等於斜邊平方和」等敘述，都屬於第(2)類或其否定形態。

(3)「存在一個質數為偶數」、「存在一個三邊等長的三角形」、「存在無限多個質數」以及「不存在任何介於 \(26\) 至 \(34\) 之間的完全平方數」等敘述，都屬於第(3)類或其否定形態。

(4)「若 \(n\) 為奇數，則 \(n^2\) 為奇數」、「若 \(x\) 與 \(y\) 為有理數，則 \(x+y\) 為有理數」以及「若 \(\Delta ABC\) 為等腰三角形，則兩底角相等」等敘述，都屬於第(4)類或其否定形態。

又例如「不是每個多項方程式都存在一個實根」或者「除了 \(2\) 以外，沒有其它的偶質數」等敘述，都只不過是上述四類型式的偽裝變形罷了。當然，上述所舉各類例子中的數學敘述，皆為真或可證明其為真，但諸如「\(10\) 是質數」、「平面上存在一個三角形，其內角和小於 \(180\) 度」以及「\(6\) 可分解成兩個完全平方數之和」、「兩個無理數相加必為無理數」等敘述，皆為假(或稱為偽)的敘述。

這裡讀者需注意的是，無論是上面的敘述句，或者一般數學敘述裡，常會需要指稱「對所有的都…」以及「存在至少一個…」，而這類相關用語被稱為量詞（quantifier）。常用的量詞主要包含了「存在有」以及「對所有的」兩類，用來指稱全部都成立以及存在一個成立兩種極端情況。在數學與邏輯學裡，我們會以符號「\(\exists\) 」指稱「存在有」這個存在量詞（existential quantifier），而這個符號是反過來的「E」，它正源自於是英文的存在一字「Exist」；我們也以符號「\(\forall\)」指稱「對所有的」這個全稱量詞（universal quantifier），這個符號則是倒過來的「A」，它源自於是英文字裡的「All」。因此，\(\exists x\) 指的是存在一個 ，使得某性質成立；而 \(\forall x\) 指的是對所有的 \(x\) ，使得某性質成立。

許多的數學定理與數學敘述都可寫成下列兩種形式之一：

• 存在一個物件 \(x\) ，具有性質 \(P\)
• 對所有的物件 \(x\)，性質 \(P\) 皆成立

例如，我們可以把「方程式 \(x^2-2x+1=0\) 有實根」這個敘述，改寫成「存在一個實數 \(x\) ，滿足 \(x^2-2x+1=0\) 」。又或者將畢氏定理改寫成「對所有的直角三角形，其兩股平方和恰等於斜邊之平方和」。

特別地，當我們要證明一個存在性敘述為真時，只需舉出一個例子，滿足該敘述即可。但若要證明「對所有的」形態的敘述時，則非得舉遍所有的可能性不可，但這通常並非易事。反過來，但若要證明「對所有的」形態的敘述為假時，只需找到一個反例，便可推翻其真實性，證明其為假。不過，話說回來，有時即使「一個反例」未必好找，例如費馬最後定理(Fermat Last Theorem)或哥德巴赫猜想(Goldbach conjecture)，即使數學家使用了電腦，快速地檢驗所有的例子，還是找不到反例。當然，前者在20年前已被證明為真，當然找不到反例；後者至今尚未有數學家提出正確而完整的證明，或找到反例來否證之。

連結：數學敘述與邏輯連詞

參考文獻：

• 齊斯．德福林（Keith Devlin）著（洪萬生、黃俊瑋等譯），《這個問題，你用數學方式想過嗎？》。