從複數到三角函數公式(I) (From complex number to trigonometric function formulas)

從複數到三角函數公式(I) (From complex number to trigonometric function formulas)
國立蘭陽女中陳敏晧教師

複數在數學各領域均有重大影響，本文章將討論如何以複數的形式來證明三角函數的相關公式，由於複數具有極坐標形式，可以將角度做旋轉、長度做伸縮變換，這是傳統幾何學在直角坐標平面難以突破的面向，因此，利用複數來證明三角函數公式往往會有意想不到的收穫，也常使學習者見識到數學之美！

本文將使用到歷史法國數學家棣美弗(Abraham de Moivre, 1667-1754)於1730年發表的棣莫弗公式，即若 \(z = r(\cos \theta+ i\sin \theta)\)，則 \({z^n} = {r^n}(\cos n\theta+ i\sin n\theta ),n \in Z\)。

及歐拉(Leonhard Euler, 1707-1783)在1748年所發表的歐拉公式：\({e^{i\theta }} = \cos \theta+ i\sin \theta\)。

首先論證正弦與餘弦的和差角公式：

\(\sin \left( {\alpha+ \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta+ \cos \alpha \sin \beta\\\cos \left( {\alpha+ \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta- \sin \alpha \sin \beta\)

證明：\(\cos (\alpha+ \beta ) + i\sin (\alpha+ \beta )\\= {e^{i(\alpha+ \beta )}}\\= {e^{i\alpha }} \cdot {e^{i\beta }}\\= \left( {\cos \alpha+ i\sin \alpha } \right)(\cos \beta+ i\sin \beta ) \\= (\cos \alpha \cos \beta- \sin \alpha \sin \beta)+ i(\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta )\)

比較兩複數的實部與虛部，即得

\(\sin \left( {\alpha+ \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta+ \cos \alpha \sin \beta\\\cos \left( {\alpha+ \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta- \sin \alpha \sin \beta\)

接著引入三倍角公式：

(1) \(\sin 3\theta= 3\sin \theta- 4{\sin ^3}\theta\) 。
(2) \(\cos 3\theta= 4{\cos ^3}\theta- 3\cos \theta\)。

證明：\(\cos 3\theta+ i\sin 3\theta\\={e^{i(3\theta )}} = {({e^{i\theta }})^3}\\= {\left( {\cos \theta+ i\sin \theta } \right)^3}\\= {(\cos \theta )^3}+3{\left( {\cos \theta}\right)^2}\cdot i\sin \theta+ 3 \cdot \cos \theta {(i\sin \theta )^2}+ {\left( {i\sin \theta}\right)^3}\\=\left( {{{\cos }^3}\theta- 3\cos \theta {{\sin }^2}\theta }\right)+i(3{\cos ^2}\theta \sin \theta- {\sin ^3}\theta )\\=\left[ {{{\cos }^3}\theta-3\cos \theta (1 – {{\cos }^2}\theta)} \right]+ i\left[{3\left( {1 – {{\sin }^2}\theta } \right)\sin \theta- {{\sin }^3}\theta } \right] \\= \left( {4{{\cos }^3}\theta- 3\cos \theta } \right)+ i(3\sin \theta- 4{\sin ^3}\theta )\)

比較兩複數的實部與虛部，即得

\(\sin 3\theta= 3\sin\theta- 4{\sin ^3}\theta\\\cos 3\theta= 4{\cos ^3}\theta- 3\cos \theta\)

接著我們可以試著證明更複雜的三角函數公式：

(1) \(\displaystyle\sin \theta+\sin 2\theta+ … + \sin n\theta= \frac{{\sin \frac{{(n + 1)\theta }}{2} \cdot \sin \frac{{n\theta }}{2}}}{{\sin \frac{\theta }{2}}}\)。
(2) \(\displaystyle\cos \theta+ \cos 2\theta+ … + \cos n\theta= \frac{{\sin \frac{{n\theta }}{2}\cos \frac{{(n + 1)\theta }}{2}}}{{\sin \frac{\theta }{2}}}\)。

第一種證明方法：不用複數概念。

(1)首先考慮積化和差與和差化積的公式，即

\(2\sin \alpha \sin \beta= \cos (\alpha- \beta ) – \cos (\alpha+ \beta )\\\cos \alpha- \cos \beta= 2\sin (\frac{{\alpha+\beta }}{2})\sin \left( {\frac{{\beta-\alpha }}{2}} \right)\)

令 \(x = \sin \theta+\sin 2\theta+ … +\sin n\theta\)，將等式兩邊同乘 \(2\sin \frac{\theta }{2}\)，即得

\(2\sin \frac{\theta }{2}\cdot x\\= 2\sin \frac{\theta}{2}\cdot \sin\theta+ 2\sin \frac{\theta}{2}\cdot\sin 2\theta+ … + 2\sin \frac{\theta }{2} \cdot \sin n\theta\\= \left( {\cos \frac{\theta }{2} -\cos \frac{{3\theta }}{2}} \right)+\left( {\cos \frac{{3\theta }}{2}-\cos \frac{{5\theta }}{2}} \right)+ … + (\cos \frac{{(2n – 1)\theta }}{2}-\cos \frac{{(2n + 1)\theta }}{2})\\= \cos \frac{\theta }{2} – \cos \frac{{(2n + 1)\theta }}{2}\\= 2\sin \frac{{(n + 1)\theta }}{2} \cdot \sin \frac{{n\theta }}{2}\)

移項得 \(\displaystyle{x}=\frac{{\sin \frac{{(n + 1)\theta }}{2} \cdot \sin \frac{{n\theta }}{2}}}{{\sin \frac{\theta }{2}}}\)，

即  \(\displaystyle\sin \theta+ \sin 2\theta+ … + \sin n\theta= \frac{{\sin \frac{{n\theta }}{2} \cdot \sin \frac{{(n + 1)\theta }}{2}}}{{\sin \frac{\theta }{2}}}\)。

證明：(2)首先考慮積化和差與和差化積的公式，即

\(\displaystyle 2\sin \alpha \cos \beta= \sin (\alpha+\beta)+ \sin (\alpha-\beta )\\\sin \alpha- \sin \beta= 2\sin \left( {\frac{{\alpha-\beta }}{2}}\right)\cos\left( {\frac{{\alpha+\beta }}{2}} \right)\)

令 \(y = \cos \theta+ \cos 2\theta+ … + \cos n\theta\)，將等式兩邊同乘 \(2\sin \frac{\theta }{2}\)，即得

\(2\sin \frac{\theta }{2} \cdot y\\= 2\sin \frac{\theta }{2} \cdot \cos \theta+ 2\sin \frac{\theta }{2} \cdot \cos 2\theta+\cdots+ 2\sin \frac{\theta }{2} \cdot \cos n\theta\\= (\sin \left( { – \frac{\theta }{2}} \right) + \sin \frac{{3\theta }}{2}) + (\sin ( – \frac{{3\theta }}{2}) + \sin \frac{{5\theta }}{2}) +\cdots\\~~~~~~+ \left( {\sin \left( { – \frac{{\left( {2n – 1} \right)\theta }}{2}} \right) + \sin \left( {\frac{{\left( {2n + 1} \right)\theta }}{2}} \right)} \right) \\= \sin \left( {\frac{{\left( {2n + 1} \right)\theta }}{2}} \right) – \sin \frac{\theta }{2} = 2\sin \frac{{n\theta }}{2} \cdot \cos \left( {\frac{{\left( {n + 1} \right)\theta }}{2}} \right)\)

移項得 \(y =\displaystyle\frac{{\sin \frac{{n\theta }}{2} \cdot \cos \left( {\frac{{\left( {n + 1} \right)\theta }}{2}} \right)}}{{\sin \frac{\theta }{2}}}\)，

即 \(\displaystyle\cos \theta+ \cos 2\theta+\cdots+ \cos n\theta= \frac{{\sin \frac{{n\theta }}{2}\cos \frac{{(n + 1)\theta }}{2}}}{{\sin \frac{\theta }{2}}}\)。

連結：從複數到三角函數公式(II) 

參考文獻：

1. 毛爾著，胡守仁譯，《毛起來說三角》，台北：天下遠見出版社，2000年。
2. 小川洋子著，王蘊潔譯，《博士熱愛的算式》，台北：麥田出版社，2004年。
3. 葉文傑，〈複數法在中學數學中的應用〉，《數學傳播》，37卷2期，頁80-92。