西方行列式的發展:范德蒙的生平(1)(The Development of Determinants in West: Vandermonde’s Biography (1))

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西方行列式的發展:范德蒙的生平(1)
(The Development of Determinants in West: Vandermonde’s Biography (1))

國立臺南第一高級中學林倉億老師

連結:西方行列式的發展:貝祖的研究

范德蒙 (Alexandre-Theophile Vandermonde) 1735年生於巴黎;巴黎,也是他在1796年告別人世之地。范德蒙的生日與忌日,很巧合地,都是台灣的國定假日,分別是2月28日與1月1日,因此,當我們在台灣放假時,除了原有的紀念意義外,也不妨遙想這位數學家的貢獻,讓放假增添一點數學風味。

范德蒙的父親是一位醫生,擁有不錯的社會地位與經濟收入。但子承衣缽卻不是這位父親的選擇,自范德蒙年幼時,他就希望也鼓勵范德蒙成為一位音樂家。在父親的鼓舞下,數學並不是范德蒙年輕時感興趣的對象,小提琴才是。

直到35歲那年,受到數學家貝爾丹 (Alexis Fontaine des Bertins, 1704-1771)的熱情感召,才激起范德蒙對數學研究的興趣。當年,他就以非會員的身份在法國科學院宣讀一篇數學論文,這可說是一份殊榮。或許是貝爾丹的感召與科學院的光環,激發了范德蒙的研究潛能,他在短短兩年內就提交了四篇論文給科學院,奠定了他在數學史中的地位。1771年,范德蒙就被正式選為科學院的一員。35歲之前對數學沒什麼貢獻的音樂家,竟在36歲成了國家科學院的會員,這恐怕是空前絕後的紀錄了!范德蒙在提交給科學院的四篇論文中,第一篇 (1771)提出了方程式之根的 \(m\) 次和公式,並證明了當 \(n\) 是小於 \(10\) 的質數時,\(x^n-1=0\) 的解可用根式表達。第二篇 (1771)則是討論棋盤上騎士漫遊的問題,這主題看起來沒什麼實際應用,比較像是趣味數學,但其內在數學結構卻是和今日的拓樸學有關。第三篇 (1772)的內容與今日的高中數學有頗多的連結,值得我們進一步了解。

\({\left[ p \right]^n} = p(p – 1)(p – 2) \cdots\cdots (p – n + 1)\),這是范德蒙定義的新符號,

第三篇的主要內容就是這符號的諸多運算與性質。

當 \(p\)與 \(n\) 是正整數且 \(p\ge n\) 時,范德蒙的符號 \([p]^n\) 就等同於今日的 \(\frac{{p!}}{{(p – n)!}}\)。

顯然,當 \(p=n\) 時,\([n]^n\) 就是 \({n!}\)。

在范德蒙所處的年代,階乘並沒有專屬的符號,因此,范德蒙可說是給出階乘符號的第一人。

此外,范德蒙的符號 \([p]^n\) 還有相當大的操作性與便利性。

比如說,由定義可知 \([p]^n=[p]^m[p-m]^{n-m}\) ,仿照指數律零次方與負數次方的定義方式,

令 \(m=0\),范德蒙就得到了 \([p]^0=1\);令 \(n=0\) 且 \(m=-n\),則 \({\left[ p \right]^{ – n}} = \frac{1}{{{{\left[ {p + n} \right]}^n}}}\)。

有了 \([p]^0=1\) 與 \({\left[ p \right]^{ – n}} = \frac{1}{{{{\left[ {p + n} \right]}^n}}}\) 後,范德蒙再進一步推導出許多運算公式:

\({\left[ {p + 1} \right]^n} = {\left[ p \right]^n} + n{\left[ p \right]^{n – 1}}\)、\({\left[ {p + 2} \right]^n} = {\left[ p \right]^n} + 2n{\left[ p \right]^{n – 1}} + n(n – 1){\left[ p \right]^{n – 2}}\)
\({\left[ {p + 3} \right]^n} = {\left[ p \right]^n} + 3n{\left[ p \right]^{n – 1}} + 3n(n – 1){\left[ p \right]^{n – 2}} + n(n – 1)(n – 2){\left[ p \right]^{n – 3}}\) \(\cdots\)

\({\left[ {p + n} \right]^n}{\left[ p \right]^{ – n}} = 1\)
\({\left[ {p + m + n} \right]^n}{\left[ p \right]^{ – n}} = {\left[ {p + m + n} \right]^m}{\left[ p \right]^{ – m}}\)
\(\displaystyle{\left[ q \right]^n}{\left[ p \right]^{ – n}} = \frac{{{{\left[ p \right]}^{ – \infty }}{{\left[ q \right]}^{ – \infty }}}}{{{{\left[ {p + n} \right]}^{ – \infty }}{{\left[ {q – n} \right]}^{ – \infty }}}} = \frac{{(p + n + 1)(q – n + 1)(p + n + 2)(q – n + 2) \cdots }}{{(p + 1)(q + 1)(p + 2)(q + 2) \cdots }}\)
\(\vdots\)

在上述的定義與公式中,\(p\) 與 \(n\) 不見得要是正整數。

例如,當 \(p=\frac{1}{2}\)、\(n=2\) 時,依定義可求出 \({\left[ {\frac{1}{2}} \right]^2} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2} -1)=-\frac{1}{4}\)。

有了這些公式之後,特別是 \({\left[ q \right]^n}{\left[ p \right]^{ – n}} = \frac{{(p + n + 1)(q – n + 1)(p + n + 2)(q – n + 2) \cdots }}{{(p + 1)(q + 1)(p + 2)(q + 2) \cdots }}\) 這個無窮連乘積,

范德蒙就可以將許多無窮連乘積用他新創的符號簡潔地表示出來,

例如將 \(q = n = \frac{1}{2}\)、\(p=\frac{-1}{2}\) 代入,

就得到 \(\displaystyle{\left[ {\frac{1}{2}} \right]^{\frac{1}{2}}}{\left[ {\frac{{ – 1}}{2}} \right]^{\frac{{ – 1}}{2}}} = \frac{{1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdots }}{{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{7}{2} \cdots }} = \frac{{2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 6 \cdots }}{{1 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdots }}\),

這正是將大名鼎鼎的華里斯 (Wallis)公式 \(\displaystyle\frac{\pi }{2} = \frac{{2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 6 \cdots }}{{1 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdots }}\)

表示成  \(\displaystyle\frac{\pi }{2} = {\left[ {\frac{1}{2}} \right]^{\frac{1}{2}}} \cdot {\left[ {\frac{{ – 1}}{2}} \right]^{\frac{{ – 1}}{2}}}\)(見下圖)。

除此之外,范德蒙也將 \(\displaystyle\sqrt 2=\frac{{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 \cdot 13 \cdots }}{{2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 14 \cdots }}\)

表示成 \(\displaystyle{\left[ {\frac{1}{2}}\right]^{\frac{1}{4}}} \cdot {\left[ {\frac{{ – 1}}{2}} \right]^{\frac{{ – 1}}{4}}}\)。

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連結:西方行列式的發展:范德蒙的生平(2)

參考文獻:

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