雷諾數

Posted on 2014/12/19 in 流體物理 Fluid Physics, 流體的性質 The Property of Fluids, 物理 with 有 1 則迴響。 27,270 views

雷諾數 (Reynolds Number)
國立臺灣大學物理學系 100級郭家宏

高中物理大部分處理的都是質點或者剛體的運動，較少觸及流體的運動。相較於剛體，流體有許多非線性的行為出現，因此也較為複雜、有趣。如此一來我們就無法分析流體的性質了嗎?並不是的，我們可以先從一個簡單的模型下手，觀察一些基本的性質。好比一條用來澆花的筆直水管，我們把水龍頭打開，水就會在管內流動著，這時候水會受到那些作用力的影響呢？

首先，水受到水塔內水位差產生的水壓推動，因此有一個向前的力量。然而當水相對於水管有一個速度時，水與管壁之間會受到摩擦阻力的作用，而減速緩慢下來。

故事還沒結束，靠近管壁那些緩慢下來的水，會進一步與比較靠近水管中央的水摩擦，而造成減速，如此一來，整條水管由中心到管壁會形成一個速度分布，我們通稱造成這個現象的作用力為黏滯力(viscosity)。黏滯力存在於幾乎所有流體中。從原子的角度看，這是來自相鄰流體分子間動量的擴散所造成的。在液體中，此動量之所以會擴散，是因為相鄰兩層間的分子有吸引力，所以會彼此拉扯、從而互相影響彼此的動量。而在氣體中，則因為相鄰兩層間的分子會因無規則而混亂的熱運動而跑到對方所在的那層氣體內，從而造成動量的擴散。

為了仔細分析這個現象，我們考慮流體沿著 $$X$$ 方向運動，在 $$Y$$ 方向上流速是均勻的，然而隨著高度變化($$Z$$ 改變)，流速也會跟著改變。由於相鄰兩層(不同 $$Z$$)流體間會有動量的擴散，這個作用便會使流速快的那層減速，流速慢的那層加速。這個減速加速的程度與兩層之間的動量差正比，而動量差又與流體的流速正比，因此，每單位面積上所受到的黏滯力F可以用以下方程式表示：

$$F\propto\Delta P\propto \Delta v $$

$$F=\displaystyle\mu\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}z}$$

其中 $$u$$ 為黏滯係數。當流速沿著垂直流速的方向有變化時，流體之間就會產生黏滯力。

另一個力量，我們稱為慣性力(inertial force)，但這並非真正的力量，而是用來描述流體的動量有多大，亦即要改變流體運動的難度。假如我們將水柱打在牆上，則牆壁在單位面積所受到的力為：

$$\displaystyle\frac{F}{A}=\frac{\Delta P}{A\Delta t}=\frac{\rho (Av\Delta t)}{A\Delta t}=\rho v^2$$

上述這兩種力的比值即是著名的雷諾數(Reynolds Number)

其中 $$D$$ 為管徑。

雷諾數代表慣性力與黏滯力的比例關係外，在實驗上雷諾數還決定了亂流(turbulence)是否發生。我們可以將黏滯力視為穩定流體的力量，它趨向使流體的速度變得一致，因此當雷諾數小的時候，粒子的動量低，向四周衝撞逸散的效果被黏滯力抵銷，因此流體沿著同一方向運動，保持穩定的層流(laminar flow)。所謂的層流，即局部來看流體的方向是平行的。當雷諾數逐漸變大時，不穩定產生了，微小的干擾無法快速地被黏滯力耗散掉，因此隨著時間演進，原本平行的流體開始擴散開來，造成流動方向不一致，即是所謂的亂流( turbulent flow )。

參考文獻