鑑別率

Posted on 2015/04/25 in 光, 光的干涉和繞射, 物理 with 沒有迴響 12,616 views

鑑別率 (Resolving Power)
國立臺灣大學化學系 101級郭中弘

（此處忽略像差造成的鑑別率問題，有興趣者可以參考《像差》）

當你在晴朗的夜晚抬頭仰望天空，看見滿天星斗，驚嘆造物者的藝術天分之餘，你可能會發現，若兩顆星星在視覺上的位置靠得很近時，它們外圍的光暈可能會有部分交疊在一起，讓它們看起來好像連在一起，當這兩顆星越接近，你看它們就越覺得模糊，直到它們靠近到一個程度，你就再也無法用肉眼分辨它們。

理論上兩點光源通過光學系統成像在平面上是仍是兩個個別的光點，但實際上，當光線通過光學元件時，會因為繞射現象變成一個光波的強度分布，而不再是一個點。以人在看星星為例，當星光（光源）透過人眼的水晶體及瞳孔（光學元件）時就會產生繞射，由於瞳孔是環形構造，因此產生環形的繞射強度分布。

同樣的現象在光學儀器的偵測上也會發生，觀察遠方的兩光源時，儀器所偵測到的是兩光源分別繞射後波形相加的結果，當兩光源過於接近，或者是觀察者和光源的距離過遠時（亦即觀察者對兩光源的視角過小時），因為光強度分布的關係，在兩光源中間重疊形成一個較強較大的訊號，觀察者只觀察到此訊號，卻無法區分這是兩個不同的光源還是一個大且亮的光源。

圖一\(~~~\)恰可分離時光源繞射強度分布(http://www.phy.ntnu.edu.tw/demolab/phpBB/viewtopic.php?topic=11985 )

對此，瑞立爵士 (Lord Rayleigh) 提出著名的瑞立準則 (Rayleigh criterion)，他建議:對兩個強度相等的光源來說，當其中一光源的繞射第一亮紋剛好位於另一光源的繞射第一暗紋時，稱兩光源正好可鑑別，當兩光源距離更近則無法鑑別。若考慮環形孔徑的光學元件，正好可鑑別時，觀察者和兩光源的視角可表示為：

\(\theta=1.22\frac{\lambda}{D}\)

其中 \(\theta\) 為角鑑別率，\(\lambda\) 為光源波長，\(D\) 為透光孔徑。

而係數 \(1.22\) 的來源，是因為光線通過圓孔繞射而產生愛瑞盤(Airy disc)時，光強度可以寫成

\(I(\theta)=I_0(\frac{2J_1(kR\sin\theta)}{kR\sin\theta})^2\)

其中 \(R\) 是圓孔半徑，\(k=2\pi/\lambda\)，\(\lambda\) 是光波長。\(J_1(x)\) 是貝索函數(Bessel Function)。
在此不討論詳細的數學過程(對貝索函數有興趣者可以參考 http://mathworld.wolfram.com/BesselFunction.html)，
經過計算可解得 \(J_1(x)=0\) 的最小正實數解是 \(x = 3.83\)，\(I(\theta)=0\) 的最小正實數解就是:

\(\theta\cong \sin\theta=1.220\frac{\lambda}{2R}=1.220\frac{\lambda}{D}\)

角鑑別率越小表示需要越小的視角就能分辨兩光源，因此根據公式，改用直徑較大的孔洞，或是觀測較短波長光源，有助於提升儀器的鑑別效果。