[物理史] 黎曼 (Riemann) 論彎曲空間的經典演講

黎曼論彎曲空間的經典演講 (Riemann’s classic lecture on curved space)
國立臺灣大學物理學系 楊信男教授、蕭如珀
（譯自APS News，2013年6月）

1915年，愛因斯坦基於他在特殊相對論提出的四維時空概念，發表廣義相對論，改變了我們對宇宙的看法。他說明時空中的翹曲與彎曲，乃是對質量與能量的回應。廣義相對論的幾何基礎是由德國數學家黎曼 (Georg Friedrich Bernhard Riemann) 於大約60年前的研究所奠定的。

黎曼 (Georg Friedrich Bernhard Riemann) （圖片來源：wikimedia commons）

1826年，黎曼出生於現在的德國，家中有6個小孩，他排行第二，父親是路德教派的牧師，親自教導兒子直到他10歲為止。年輕的黎曼既害羞又神經質，但很有數學天賦，當他在漢諾威上中學時，他的數學好到有時超越了他的老師。1846年，他父親湊了足夠的錢，送兒子去哥廷根大學 (University of Göttingen) 就讀。黎曼起先想要研讀神學，以便幫忙維持家裏的生計。但之後，他去上高斯 (Carl Friedrich Gauss) 和斯特恩 (Moritz Stern) 的課，他們都鼓勵他改換研習科目。黎曼帶著父母的祝福，於隔年轉學到柏林大學，跟隨當時幾個最有名的數學家學習。

兩年後，於1849年，他回到哥廷根跟著高斯修習博士學位，於1851年完成複變數理論的學位論文，這是我們現在所說黎曼曲面的基礎，高斯形容黎曼論文的報告有著「極其輝煌的獨創性」。兩年後，黎曼為了求取哥廷根大學的教職而需給演講時，高斯給他這位耀眼的學生所指定的講題是幾何的基礎，這對資淺的數學家來講似乎是乏味的題目。

雖然黎曼對演講有恐懼症，然而他並未讓他的指導教授失望。他利用此機會發展出一個更高維的極度原創理論，在1854年6月10日的演說「論幾何基礎上的假說」中，他描述包含如何測定空間曲率的可行定義。此演說在他1866年死後兩年才發表出來，現在被視為幾何學上最重要的研究成果之一。

黎曼的演說包括兩個部份，第一，我們如何定義一個n-維空間，導致黎曼空間和黎曼張量的定義，這奠下了黎曼幾何領域的基礎。第二，黎曼討論真實空間的維度，以及該用什麼幾何來對其描述。

黎曼的演說轟動成功，雖然他的觀念太高深，只有高斯能完全領會其深奧。畢竟高斯在他生涯中曾研究過二維表面的理論，所以能精確地以數學來評量曲率。高斯以前便曾思量推想空間的可能曲率，於1824年給薛維卡特 (Ferdinand Schweikart) 的一封信中坦言說：「我不時會開玩笑地表示，希望歐幾里得幾何是不正確的。」

高斯證明說，在二維空間中，需要單一個數目來說明附近一點的曲率（高斯曲率），黎曼將此概念延伸到任何維度的空間，證明需要6個數目來描述三維空間任一點的曲率（黎曼度量），四維空間則需20個數目。黎曼曲率張量則只是空間任一點描述其曲率數目的總和。

黎曼繼續在其他領域例如分析、數論、以及複數流形理論等方面做出寶貴的貢獻。雖然哥廷根大學於1857年聘任他為有給職的教授，但他的師長努力為他在哥廷根爭取講座職位，皆未能成功。那一年他發表Abel函數的研究論文，以接續他的博士論文，並進一步延伸他在黎曼曲面的拓撲性質的概念。他終於在1859年獲聘為哥廷根大學數學系的講座教授，並被選入柏林科學院。1862年，他和妹妹的朋友結婚，生了一個女兒。

然而，他在生活和職業方面的幸福快樂皆很短暫。黎曼的身體一向不好，結婚後那年他罹患重感冒，導致肺結核。那年冬天，他到溫暖的西西里島避寒，但卻沒完全康復。因為健康惡化，後來幾年他來回於哥廷根和義大利，於1866年7月20日病逝，享年39歲，當時他正在義大利有名的馬久雷湖 (Lake Maggiore) 邊調養身子。有人猜測，他的管家在他死後整理他的辦公室時，很可能丟棄了幾份未發表的研究。

黎曼在數學和物理方面的影響力一直未減，愛因斯坦後來觀察黎曼的研究後說：「物理學家的思考方式仍和他很不一樣。」

「只有黎曼的天才，當年孤獨而無人理解，終於克服萬難，在上世紀中成就了空間的新概念，讓空間不再僵硬，且被認知可以參與物理事件並產生影響。」現在數學家仍努力思考他的概念所帶來意想不到的結果。

除了愛因斯坦外，黎曼對幾何學重大的貢獻很可能也鼓舞了卡羅（Lewis Carroll，筆名），即牛津大學數學教授道奇森 (Charles Dodgson)，在創作《愛麗絲夢遊仙境》 (Alice in Wonderland) 和《愛麗絲鏡中奇遇》 (Through the Looking Glass) 兩本兒童文學作品的靈感。道奇森實際是傳統的歐幾里得派，他喜歡歐幾里得的平面空間。道奇森為愛麗絲在很多方面所創造出虛幻世界的荒謬，反映出19世紀末數學界知識的遽變，而致學者得費力地思考混亂的、充滿彎曲空間與虛構數目的鏡中世界。

原文刊載於物理雙月刊2016年6月號38卷第3期，感謝楊信男教授同意授權刊載。

系列文章100篇已集結成冊，由五南出版，書名為《物理奇才奇事》。