向量、單位向量 （Vector, Unit Vector）

向量、單位向量（Vector, Unit Vector）
台北市立第一女子高級中學邊鈺皓/台北市立第一女子高級中學黃克雄老師/國立彰化師範大學物理學系洪連輝教授責任編輯

在物理學上，我們有許許多多的「量」，對於那些在經過座標轉換後仍然能保持不變的物理量，我們稱之為純量，純量是不具有方向性的。對於那些既有大小，又具有方向的量，我們就稱之為「向量」。在物理學上，很多的「量」都是具有方向性的，像是：位移、速度、加速度、力矩、動量、衝量等。

 一般而言我們是以箭號來表示向量，對於一個由A出發B結束的向量(如圖)，我們記做 \(\vec {AB}\)

對於某向量 \(\vec a\) 的大小，我們表示成 \(|\vec a|\)

由於向量僅具有大小及方向，因此當兩個向量的方向、大小都相等時，我們就可以說這兩個向量是相等的。換句話說向量在空間中是可以平移的，平移後的向量與原來的向量仍然相等。

對於所有的向量，我們都可以用單位向量來表示他。在數學上，單位向量就是長度為 \(1\) 的向量。在空間中，\(x,y,z\) 方向上的單位向量分別為 \(\hat i, \hat j, \hat k\)

任何一個向量都可以用他在 \(x,y,z\) 軸上的分量來表示，即：\(\vec a = a_{x}\hat i + a_{y}\hat j + a_{z}\hat k\)
對於某個方向上的單位向量，我們可以以 \(\displaystyle\frac {\vec a}{|\vec a|}\) 來表示。

向量的加減

對於向量我們仍然可以進行加減。我們先把要計算的向量 \(\vec{a},\vec{b}\) 以相同的比例尺度繪出，並使兩向量其中一端頭尾相連，則可以作圖法將另端頭尾連線表示此兩向量相加之結果(對於多個向量相加仍可如此進行)。

若要計算向量的減法：\(\vec{a}-\vec{b}\)，則先將 \(\vec{b}\) 的方向反轉，得到 \(-\vec{b}\)。再以加法的方式求出 \(\vec{a}+(-\vec{b})\)

※向量的加減遵守交換率和結合律：

\(\vec a + \vec b = \vec b + \vec a \)
\(\vec a + ( \vec b + \vec c ) = ( \vec a + \vec b ) + \vec c\)

向量的乘法

向量的乘法可以分成三類，向量和純量的乘法、向量的內積、向量外積。

當向量與純量相乘：\(|x|\vec{a}\)，他所代表的意義是 \(a\) 向量的方向不變，量值為 \(a\) 向量原本的量值乘上 \(|x|\)。

兩個向量的內積是一純量，我們把他記做 \(\vec a \cdot \vec b\)

其定義為 \(\vec a \cdot \vec b = |\vec a| |\vec b| \cos \theta\)

內積會滿足分配律、交換律。在物理學上，力作功的問題經常會用到內積來進行運算。

兩個向量的外積是一向量，記做 \(\vec a \times \vec b\)，他的大小被定義為 \(\vec a \times \vec b = |\vec a| |\vec b| \sin \theta\)

\(\theta\) 為 \(\vec a, \vec b\) 間較小的夾角，方向則是以「右手定則」來判定(如圖)

外積不滿足交換律和結合律，但卻滿足分配律。