玻色子與費米子一：理論來源 (Bosons and Fermions Ⅰ: The Theory)
國立臺灣大學物理系 林惟淨
在量子物理的世界中，粒子可以分為玻色子 (Bosons) 與費米子 (Fermions) 兩類，它們分別以印度物理學家玻色 (Satyendra Nath Bose, 1894-1974) 與義大利物理學家費米 (Enrico Fermi, 1901-1954) 命名，以紀念兩人傑出的研究貢獻。在這篇文章中我們將著重於玻色子與費米子的理論來源，而在下篇文章中，我們將介紹一些這兩種粒子的特性。
基態氫原子之最可能半徑及平均半徑的比較（下）(The comparison between the most probable radius and the average radius of hydrogen ground state (II))
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏
二、最可能半徑、平均半徑及原子軌域範圍的求法
欲求電子出現機最大的地方，則需對徑向分佈函數微分後，令其等於 $$0$$ 求極值即可：
$$\displaystyle\frac{\partial[r^2R(r)^2]}{\partial r}=\frac{\partial[r^2(\frac{Z}{a_0})^3e^{-\frac{2Zr}{a_0}}]}{\partial r}=(2r-2\frac{Z}{a_0}r^2)(\frac{Z}{a_0})^3e^{-\frac{2Zr}{a_0}}=0$$
$$r=a_0/Z=a_0=0.53$$ Å
比較2p及3p氫原子軌域的等高線圖（下）
Comparing the contour map of hydrogen atom’s 2p and 3p orbitals (III)
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏教授
比較2p及3p氫原子軌域的等高線圖（中）
Comparing the contour map of hydrogen atom’s 2p and 3p orbitals (II)
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏教授
二、$$\varphi_{2p_z}$$ 及 $$\varphi_{3p_z}$$ 軌域等高線圖的畫法
圖二、三的軌域形狀雖然能告訴我們很多訊息，但是其內部的電子分部情形，究竟是均勻分佈？還是遂漸變大或變小？卻無法表示出來。另外有一種常用的表達方式稱為等高線圖，恰能補其不足。想像一下，如何在二度空間，表示一座高山的地形圖？
比較2p及3p氫原子軌域的等高線圖（上）
Comparing the contour map of hydrogen atom’s 2p and 3p orbitals (I)
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏教授
高中化學教材論及原子軌域時，總會談到 $$ns$$、$$2p$$ 及 $$3p$$ 軌域，因為接下來就會討論 $$s$$、$$p$$ 的混成軌域及原子間的鍵銡情形。但是教科書中所繪製的軌域圖形，均以立體的模型，將含電子機率約 $$90\%$$ 的範圍，利用專業軟體繪如 Maple V、Mathmatica 等將其繪製出來。此方式有其不利之處，其一是只能觀其外表，其內部電子的分部情形為何？卻難以得知，其二 專業軟體較為昂貴，如何使用也必須學習。
似氫原子2s軌域的解析（下） Analytical 2s orbital of hydrogen like atom (II)
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏教授
連結： 似氫原子2s軌域的解析（上）
二、電子出現在似氫原子 $$2s$$ 軌域節球面以內的機率有多少
欲求圖四中電子出現在 $$2s$$ 軌域節球面以內的機率有多少？則必須對徑向機率函數從 $$0$$ 積分到 $$2a_0/Z$$，即求圖四中第一個小山丘的面積，可表示如下：
\begin{array}{ll} \displaystyle\int^{2a_0/Z}_{0}4\pi|\varphi_{2s}|^2r^2dr&=\displaystyle\frac{Z^3}{8a^{3}_0}\int^{2a_0/Z}_{0}(2-\frac{Zr}{a_0})^2r^2e^{-\frac{Zr}{a_0}}dr\\&=\displaystyle\frac{Z^3}{8a^{3}_0}\int^{2a_0/Z}_{0}(4r^2-\frac{4Zr^3}{a_0}+\frac{Z^2r^4}{a^{2}_0})e^{-\frac{Zr}{a_0}}dr\end{array}
似氫原子2s軌域的解析（上） Analytical 2s orbital of hydrogen like atom (I)
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏教授
高中化學教授原子軌域及混成軌域時，總會有好奇的學生抛出似懂非懂的問題：$$1s$$ 和 $$2s$$ 軌域均為圓球的形狀，它們除了大小不同以外，其他都一樣嗎？電子隨徑向(radial)呈現不均勻的分佈，也只會出現一個最可能半徑(the most probable radius)嗎？
2s 軌域的能階為何比 2p 軌域低？ Why is the 2s orbital lower in energy than the 2p orbital?
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏教授
高中化學教授氫原子及多電子原子的軌域能階時，總會告訴學生氫原子 $$2s$$ 和 $$2p$$ 軌域的能階相等，而在多電子原子時則 $$2s$$ 軌域的能階比 $$2p$$ 低，至於為何會有這種現象，老師通常會說這是量子力學計算的結果，以後大家就會知道了。
2sp$$^2$$ 混成軌域的解析 (下) The analysis of 2sp$$^2$$ hybrid orbitals (III)
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏教授
三、$$2sp^2$$ 軌域的等高線圖
圖一中三個 $$2sp^2$$ 軌域的等高線圖，若依據(式-4)、(式-6)和(式-7)實際在Excel軟體上繪圖，其所得的結果是不是與圖一相同？ 若將 $$2s$$、$$2p_y$$ 的波函數代入混成軌域(式-4)中，可得下式：
$$\begin{multline*}\varphi_{2sp^2(1)}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\left[\frac{1}{4(2\pi)^{\frac{1}{2}}}(\frac{Z}{a_0})^{\frac{3}{2}}\left(2-\frac{Zr}{a_0}\right)e^{-\frac{Zr}{2a_0}}\right]\\+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\left[\frac{1}{4(2\pi)^{\frac{1}{2}}}(\frac{Z}{a_0})^{\frac{5}{2}}re^{-Zr/2a_0}\sin\theta\sin\phi\right] \end{multline*}$$