玻色子與費米子一：理論來源

玻色子與費米子一：理論來源 (Bosons and Fermions Ⅰ: The Theory)
國立臺灣大學物理系 林惟淨

在量子物理的世界中，粒子可以分為玻色子 (Bosons) 與費米子 (Fermions) 兩類，它們分別以印度物理學家玻色 (Satyendra Nath Bose, 1894-1974) 與義大利物理學家費米 (Enrico Fermi, 1901-1954) 命名，以紀念兩人傑出的研究貢獻。在這篇文章中我們將著重於玻色子與費米子的理論來源，而在下篇文章中，我們將介紹一些這兩種粒子的特性。

談到玻色子與費米子的理論來源，我們還是得先從主宰量子世界的法則－粒子的運動均滿足薛丁格方程式 (Schrödinger equation) 說起：

在古典物理學的世界中，假設一維的情況下，我們希望藉由一個物體的質量 \(m\) 以及作用在其上的力 \(F(x,t)\)—也就是位能 \(V(x,t)\)—得出其位置函數 \(x(t)\)；因為若知道 \(x(t)\)，便可推出其他我們感興趣的物理量，如速度 \((v=\frac{dx}{dt})\)、動量 \((p=mv)\)、動能 \((T=\frac{1}{2}mv^2)\) 等。那我們究竟該如何得出 \(x(t)\) 呢？答案想必大家都心中有數：我們運用著名的牛頓第二定律 \(F=ma\)，解二階微分方程式 \(F=m\frac{d^2x}{dt^2}\)，再加上適當的初始條件，我們可以求得 \(x(t)\)，也就是說，我們可以知道未來任一時間點物體所在的位置。

然而在量子力學的世界中，我們希望藉由一粒子的質量 \(m\) 以及作用在其上的位能 \(V(x,t)\) 得出其波函數 (Wave function) \(\Psi(x,t)\)。相較於古典世界中容易理解的位置函數 \(x(t)\)，波函數的物理意義與粒子在某一特定時間點 \(t\)、位置 \(x\) 出現的機率有關（\(|\Psi(x,t)|^2\) 為粒子出現的機率）。由波函數可得出的物理量在這裡不一一敘述，一併列在表一中。而求得波函數的方法，則是藉由解薛丁格方程式：一個二階的偏微分方程式：\(i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+V(x,t)\Psi\) 而得。其中，\(m\) 與 \(V(x,t)\) 是已知， ，\(i=\sqrt{-1}\)，\(\hbar=\frac{h}{2\pi}=1.054572\times 10^{-34}~J\cdot s\)。因此，薛丁格方程式在量子的世界中扮演等同古典物理中牛頓第二定律的重要角色，藉由適當的初始條件 \((\Psi(x,0))\)，我們可以求得 \(\Psi(x,t)\)，即等同求得未來任一時間點粒子在某一處出現的機率。

表一、古典物理與量子物理比較表。（表格來源：本文作者林惟淨製）

以上我們探討描述「一個」粒子的波函數，接下來我們要問的是：如果現在有二個、甚至多個粒子，要如何用波函數去描述這整個多粒子的狀態呢？要回答這個問題，我們必須先介紹「全同粒子」(Identical particles) 這個以古典物理觀難以理解的想法。什麼是「全同粒子」呢？我們先以電子為例來說明：「電子是一種全同粒子」意指所有的電子均是相同的，因此不能分辨。讓我們想像在一張紙的正反兩面各有一個電子，我們會想：怎麼會不能分辨這兩顆電子呢？我們只要一直追蹤著在正面的這顆電子就好啦！然而，在量子的世界中我們是不能保持不斷的追蹤的，我們能做的只是不斷地射入一群光子去「測量」，而每當光子打中一粒電子時，我們卻不能得知電子如何移動。不能追蹤意味著我們無法保證在下一刻—位於正面的這顆電子是不是背面的交換而來，因為這兩顆電子長得一模一樣。因此我們只能承認我們無法給與電子辨別性。像電子這種無法分辨的粒子就是全同粒子，在量子物理的世界中，所有的基本粒子都是全同粒子。

現在我們要寫下描述「二個全同粒子狀態」的波函數 \(\Psi\)，雖然全同粒子是不能分辨的，但為了數學方便，我這們先在可分辨的前提下寫出兩顆粒子各自的波函數：我們假設位於紙正面（以位置向量 \(\vec{r_1}\) 表示）的粒子 1 號波函數為 \(\Psi_a(\vec{r},t)\)，位於紙背面（以位置向量 \(\vec{r_2}\) 表示）的粒子 2 號波函數為 \(\Psi_b(\vec{r},t)\)，如果粒子可分辨的話，「二個可分粒子狀態」的波函數就是 \(\Psi(\vec{v_1},\vec{v_2};t)=\Psi_a(\vec{r_1},t)\Psi_b(\vec{r_2},t)\)；然而全同粒子卻是不可分辨的，因此我們必須將方程式改變一下，使得將這兩顆粒子交換的結果，不會改變描述狀態的波函數。這成了一個數學上對稱的問題，而最簡單的做法就是透過下式來產生兩種可能的結果：

\(\Psi_{\pm}(\vec{r_1},\vec{r_2};t)=A\left[\Psi_a(\vec{r_1},t)\Psi_b(\vec{r_2},t)\pm\Psi_b(\vec{r_1},t)\Psi_a(\vec{r_2},t)\right]\)

其中，取負號的 \(\Psi_{-}(\vec{r_1},\vec{r_2};t)\) 會讓交換後的波函數變成原本的負值，但因為只有波函數的絕對值平方代表粒子出現的機率，所以較有物理意義，因此這個解仍成立。這兩個可能的解正代表了玻色子（取正號）與費米子（取負號）這兩種全同粒子的種類。

以上我們介紹了玻色子與費米子的理論來源，須注意的是：去除粒子的身分是一個極強的數學限制，深深影響粒子的行為。而我們可將其等價於在兩個全同粒子間引入一個交換力 (Exchange force)。交換力會使得玻色子表現得好像有某種互相的吸引力，並使費米子顯得會互相排斥，這在下文中可以見到。

本文從古典物理的牛頓第二定律說起，解釋了波函數與薛丁格方程式在量子物理中所扮演的角色；並試著說明：因量子世界中粒子為全同的事實我們必須改寫多粒子狀態的波函數，得到的兩種改寫結果正代表了在量子世界中粒子所屬的兩大陣營：玻色子與費米子。

連結：玻色子與費米子二：粒子特性

參考文獻

1. 孫昭正（2000）。量子的故事。新竹市：凡異出版社。
2. Griffiths D. J. (2014). Introduction to quantum mechanics (2nd ed.). USA：Pearson Prentice Hall.