虛數

虛數$$\sqrt{-1}$$的誕生-下（The Origin of Imaginary Number$$\sqrt{-1}$$)
台北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

連結：虛數√-1的誕生-上

在〈虛數 $$\sqrt{-1}$$ 的起源〉(上) 一文中，我們看到卡丹諾利用立方體來論證三次方程解法的正確性。在這樣的看法下，方程式的「根」代表著邊長。因此，需要開一個負數的平方根，代表著這個問題是無解，沒有實際意義的。

卡丹諾在處理二次方程時，便是這樣的想法。當他考慮將 $$10$$ 分成兩個數，且兩數乘積為 $$40$$ 的問題，即 $$x(10-x)=40\Rightarrow x^2+40=10x$$，就清楚地提到：「這種情形或問題是不可能的。」不過，他仍可用二次公式得到兩個解 $$5+\sqrt{-15}$$ 和 $$5-\sqrt{-15}$$。

同時，他也指出：我們若「能放下心中的折磨」，直接計算兩數的乘積，便能得到 $$25-(-15)=40$$，符合原來題設。他無法說出這件事的意義何在，只好利用「算術就是這麼精巧又不中用。」的說法來交待。因此，卡丹諾對於出現 $$x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$$ 的現象，也是採取迴避的策略吧。

虛數$$\sqrt{-1}$$的誕生-上（The Origin of Imaginary Number$$\sqrt{-1}$$)
新北市中正國中數學科陳鳳珠老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

一般人都知道虛數 $$\sqrt{-1}$$ 是方程式 $$x^2+1=0$$ 的根，在合理的推論之下，虛數 $$\sqrt{-1}$$ 應該是誕生在二次方程的解法之中才是。如果你也這樣以為，那麼，數學史家的研究結果，絕對出乎你的意料之外！

在數學發展過程中，早期數學家面對方程式 $$x^2+1=0$$ 時，和我們現在的國中數學課本處理方式一樣，他們認為這樣的方程式是無解，當然，也就無須發明一個數，來表示方程式 $$x^2+1=0$$ 的根。不過，當我們回顧虛數 $$\sqrt{-1}$$ 誕生的故事時，便會認同數學史家的觀點，也就是說：虛數 $$\sqrt{-1}$$ 並非誕生在二次方程式的解法之中，而是在解三次方程時現身。