虛數的妙用(Usefulness of Imaginary Numbers)

虛數的妙用(Usefulness of Imaginary Numbers)
台北市立第一女子高級中學數學科蘇俊鴻老師/ 國立台灣師範大學數學系退休教授洪萬生責任編輯

談起「虛數」這個詞，只要學習過高中數學的人，不難聯想到$$\sqrt{-1}=i$$，相信也順便想起那段與 $$i$$ 奮鬥的時光。對許多人而言，將數系由自然數→整數→有理數→實數，逐步地擴展開來，還說得上道理。但對於複數，不僅數的很多性質不再適用(例如比較大小)，連描述複數系的結構，也得利用平面來對應。更重要的是，除了說明代數基本定理外，複數還能有什麼應用呢？

在史蒂芬．霍金所寫的《胡桃裏的宇宙》一書，我們可以看見複數被理論物理學家拿來解說時空模型，相當深刻有趣。值得在此與高中教師同仁分享。整個故事由「時間是什麼？」這個困擾人們的問題（至今仍然依舊）開始談起，首先登場的是牛頓。

在1687年所出版的《自然哲學之數學原理》(Principia)，牛頓提出了第一個時間與空間的數學模型。在他的模型中，時間與空間是萬事萬物的背景，卻不受萬事萬物的影響。時間獨立於空間之外，像是一條直線或鐵軌，往兩端延伸沒有盡頭；而且是永恆不變的。換句話說，它過去一直存在，將來也會繼續存在。這樣的模型，符合多數人對時間的感覺，卻引起哲學家(包括康德在內)極大的困擾：假如宇宙是被創造出來的，那麼在創世之前，為何會等待無限長久的時間呢？另一方面，假如宇宙過去一直存在，那麼該發生的事不是應該都發生了？歷史不就早該終結了？康德將這個問題稱為「純粹理性之二律背反」，因為它似乎是邏輯上的矛盾，根本不可能有解。事實上，這個矛盾只存在牛頓的數學模型中！因為其中的時間是一條無限長的直線，與宇宙中任何事物毫無關聯。這個缺陷得以解決，是愛因斯坦的功勞。

愛因斯坦在1915年討論彎曲時空的觀念，提出廣義相對論，並在1919年得到實驗證實後，使得我們對於時間與空間有了不同的看法。廣義相對論將時間維度與空間的三個維度結合起來，形成「時空」。這個理論將重力的效應包含在內，討論物質與能量的分布會讓時空彎曲變形，也就是說，時空並不是平坦的。在這樣的時空模型中，物體會試圖沿著直線運動，但受時空彎曲的緣故，它的路徑看起來也是彎曲的，彷彿受到重力場的影響。在廣義相對論中，時間與空間糾纏在一起，如何也解不開來。你想要讓空間彎曲，一定會牽連到時間，因此，時間與空間並非互相獨立，也並非獨立於宇宙之外。

這樣一個「在宇宙裏」所定義的時間，會有終點與起點。至於起點之前，或是終點之後，就沒有定義了。我們如何描述時間與空間的形狀，就必須引入「虛數時間」的想法。

所謂的「虛數時間」是什麼呢？必須先由「虛數」談起，如果將實數看成對應於一條水平線上的各個位置的數，零在中間，正實數在右邊，負實數在左邊。如此一來，虛數可以看成對應於一條垂直線上各個位置的數，零仍然在中間，正虛數畫在上面，負虛數畫在下面。因此，我們將虛數視為一個新的數，與實數相互垂直，不需要任何的實質意義。「虛數時間」是指由虛數來度量表示的時間。

在廣義相對論中，實數時間與三維空間結合成四維的時空。可是，實數時間維度與三個空間維度卻有明顯的不同：時間總是由過去流向未來，而在空間中則是能向前進，也能向後退。換句話說，我們可以在空間中轉向，但在時間中不能這麼做。然而在「虛數時間」中，由於它垂直於實數時間，彷彿是第四個空間維度，擁有的可能性就大大地增加，在這樣的架構下，時間才會出現形狀！

例如，考慮一個虛數的時空，結構類似地球表面的球面，並且假設虛數時間是緯度，用距離南極的遠近來表示虛數時間。那麼，在虛數時間中，宇宙的歷史就是由南極開始。你不能問：「開始之前發生過什麼？」這是個毫無意義的問題，那樣的時間根本沒有定義，就像南極之南不存在一樣。在地球表面上，南極是個完全正常的點，所有其他地點適用的幾何法則，在南極一體適用。從南極出發往北走，緯圈會逐漸變大，對應著宇宙隨著虛數時間而擴張。在赤道處，宇宙達到極大值。假始虛數時間繼續增加，宇宙便開始收縮，最後在北極處縮成一點。然而，即使宇宙在南北兩極沒有大小，這兩點也不是奇異點，如同地球的南北極是地球表面完全正常的兩點。這就意味著在虛數時間中，宇宙的起源可以是時空中的正常點；宇宙其他時刻所適用的物理定律，在這個起點也同樣適用。

你看，「虛數」的妙用真大。

附註：本文改寫自史蒂芬．霍金，葉李華譯，《胡桃裏的宇宙》，台北：大塊文化，2001年。

參考文獻
史蒂芬．霍金，葉李華譯，《胡桃裏的宇宙》，台北：大塊文化，2001年。