由問題的起源看導數的定義I
由問題的起源看導數的定義I
臺北市立西松高中 蘇惠玉教師
前言
在高中的微積分教學脈絡中,一定先教授極限的觀念與函數的極限,然後在進入微分單元時,直接定義何謂導數,即多項式函數 \(f(x)\) 在點 \((a,f(a))\) 的導數為 \(f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\),然後再說明導數的意義以及應用。
然而為何導數要這樣定義?我們在定義一個數學物件之前,通常是問題導向的,有需要,才有發明。那麼導數或是微積分來自於什麼需求?為何會導致這樣的定義形式?在這一系列的文章中,筆者試圖透過這一段數學史的發展,從問題的源頭說起,經由費馬求極值與牛頓求切線的方法,並利用問題來學習與思考,最後理解何以會以 \(f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\) 這種形式來定義導數的必然性。