點數問題與機率論的源起

點數問題與機率論的源起 (Problem of Points and the origin of probability theory)
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

1654年，法國貴族迪默勒 (Chevalier de Méré) 向數學家巴斯卡提出一個賭金分配問題。那就是在一場未完成的賭局中，如何分配賭金呢？這些「賭金」來自賭徒在一開始所下注的。根據慣例，只要一下注，直到遊戲結束前，這些賭金是不屬於任何人的，結束時，只有贏家能擁有全部賭金。

迪默勒的問題是：在已知玩家們的部份得分之下，如何去分配這中斷賭局的賭金，這就是現在所謂的「點數問題」(problem of points)。為了「公平」起見，這個答案必須設法反映：若賭局繼續，每位玩家得勝的可能性。底下是迪默勒點數問題的一個精簡版本：

賽維爾和伊凡各出 $$10$$ 元玩擲銅板遊戲。每人輪流擲銅板，如果擲出的銅板落地正面朝上者，擲銅板者得一點；若不是擲出正面，則另一人得一點。第一個得到三點的人可贏得 $$20$$ 元。現在，假設這個遊戲在賽維爾已得兩點，而伊凡得一點，且賽維爾正要投擲時，不得不取消。那麼，分配這 $$20$$ 元的公平方法是什麼呢？

巴斯卡（Blaise Pascal）考慮過的實際點數問題，問的是在這一類中斷的遊戲中，所有可能的得分。巴斯卡將這問題告知費馬（Pierre de Fermat）。在他們的通信當中，一個新的數學領域 – 機率論 — 悄悄誕生了。這兩位數學家對於這問題使用了不盡相同的方法，但卻得到相同的答案。底下，利用巴斯卡解法來解上述簡例：

在擲銅板的遊戲裡，一個公正的銅板擲出正面或反面是機會均等的。因此，如果每一位玩家都擁有兩點，那麼，在下一次的投擲，每一個人贏得遊戲勝利的機會是相等的。所以，每一位玩家分得賭局一半的總賭金 $$10$$ 元，應該是公平的。在本例中，賽維爾已得兩點，而伊凡得一點。如果賽維爾擲了銅板並且贏了，則他得到了 $$3$$ 點，因此可得 $$20$$ 元。

如果賽維爾輸了，則每名玩家各有 $$2$$ 點，因此，每一個人有資格得到 $$10$$ 元。故賽維爾在這個遊戲中，至少保證可以得 $$10$$ 元。又賽維爾在這次的投擲中，輸或贏的機會是相等的，所以，其它 $$10$$ 元應該由玩家們平分。結果，賽維爾應該得 $$15$$ 元而伊凡得 $$5$$ 元。

巴斯卡接著處理中斷賭局的其它情況，他把每一個情況化約到之前已解決的情況並依此分錢。後來，巴斯卡和費馬將這問題及其解法一般化，並延伸探討其他機遇遊戲 (game of chance)。不久，他們的研究激起了歐洲科學社群的興趣，而其他學者也相繼開始挑戰賭博遊戲的分析工作。

機率論的核心概念，是將某未知事件會發生或已經發生的可能性（likelihood）加以量化。就如巴斯卡的解法所提示，理解這個過程的關鍵在於：結果出現的機會均等之概念。如果一個狀況可以被發生機會均等的結果所描述，那麼，結果的其中之一可能發生的機率，就是所有結果總數分之一。卡丹諾 (Girolamo Cardano) 早在迪默勒在玩擲骰子前一百年，就已經發現和探討過這個原理了，但是，他的相關著作《論機遇遊戲》（Liber de Ludo Aleae）卻一直到巴斯卡與費馬解決了迪默勒問題九年後才出版。

在那一本著作內，卡丹諾提出了一個近似今日我們所稱的大數法則（law of large number）。在出現機會均等的觀點下，這個法則其實用以確認我們的常識。譬如說吧，如果丟一個公正的骰子，六面中的任何一面出現的機會均等。因此，如我們在 $$6$$ 次的丟擲中有一次的機會丟出 $$5$$；它的機率是 $$1/6$$。這並不保證我們丟了 $$6$$ 次，其中 $$5$$ 正好出現一次，但是，大數法則告訴我們：丟了 $$100$$ 或 $$1000$$ 甚至 $$1,000,000$$ 次，$$5$$ 出現的次數會有越來越接近於投擲總數 $$1/6$$ 的傾向。

1657 年，海更斯（Christiaan Huygens）在他的《論機率博奕的計算》論文中，把巴斯卡和費馬的想法聯結起來，並且將它延伸到有三個人或更多玩家情況的遊戲中。海更斯的進路是從「出現機會均等」結果的概念出發。他的核心工具不是機率的現代概念，而是期望值或者是「預期結果」的概念。底下是一個簡單的示例：「你有投擲一個骰子的機會。如果出現 $$6$$ 點，你得到 $$10$$ 元； 如果出現 $$3$$ 點，你得到 $$5$$ 元；其他的狀況，你什麼也沒得到。如此一來，玩這場遊戲該支付的一個合理的價錢是多少呢？」

從現代觀點來看，這一遊戲的數學期望值是透過每一個可能的報酬與它的機率的乘積加總而得。在本例中，骰子六面當中的每一面之出現機會均等（假設骰子是公正的），因此，你有六分之一的機會得到 $$10$$ 元，六分之一的機會得到 $$5$$ 元，以及六分之四的機會什麼也沒得到。因此，數學期望值為：

$$\displaystyle \frac{1}{6}\cdot\$10+\frac{1}{6}\cdot\$5+\frac{4}{6}\cdot\$0=\$ 2.50 $$

換言之，如果一個賭場讓客人付 $$2.50$$ 元來玩這個遊戲，那麼，這賭場期望最後是不賺不賠的。如果玩這遊戲要付 $$3$$ 元，它會期望長期來說，莊家就能從每位玩家手上賺到 $$0.5$$ 元。（如果你買一種 $$1$$ 元的樂透彩，並且，利用彩券背面的數據計算你的數學期望值，你將發現它是比 $$1$$ 少得多。這或許就是國家要發行樂透彩的原因了。）

海更斯逆轉了這個過程，使用期望值去計算機率，而不是用機率計算期望值。但是，基本想法是相同的︰機率相等的結果意味著期望值相等。

數學期望值，像大多數的機率論一樣，它的應用遠多於抽獎和賭博。尤其，當保險公司承保保險單時，這是他們評價風險的根本模式。伯努利（Jacob Bernoulli）在他的《猜度術》（Ars Conjectandi）裡，收錄了機率的廣泛的應用。本書出版於他身後八年的1713年。其中，伯努利研究理論機率和它各種實際應用的相關性。尤其是，他體認到當討論人的壽命與健康等主題時，發生機會均等的假定是一個嚴重的限制，所以，他建議改以統計資料為基礎的進路去探討。

從此，伯努利也增強了卡丹諾的大數法則概念。他主張，在可重複的實驗中，如果某個「我們希望產生的」結果在理論上發生機率是p，那麼，任意給定誤差範圍，只要實驗次數足夠多，希望產生的結果總數與實驗總數的比值和 $$p$$ 的差距，就會在這個給定範圍內。按照這個原則來看，觀測的數據便可以用來估計現實世界情況的事件機率。

機率的觀點不是容易被接受的。例如，考慮人壽保險。我們覺得，機率的思維顯然將幫助公司去出售人壽保險賺錢。特別地，因為我們相信大數法則，所以，我們知道如果出售很多保單對這公司來說，是再好不過的了。因為它出售的保單越多，死亡率就越有希望如預期的那樣，公司將因此而獲利。不過，在18世紀，很多公司好像認為，販售每一張新保單的會增加公司的風險。因此，他們覺得出售太多保單肯定危險﹗

在18世紀期間，數學社群對機率問題的興趣，被不同的人導引至不同的結果。接近該世紀末時，法國數學家拉普拉斯（Pierre Laplace），開始對機率問題感興趣。在1774到1786年間，他寫了一系列有關機率問題的論文。1812年，拉普拉斯出版《機率的分析理論》(Thèorie Analytique des Probabilités)，那是一本百科全書式的著作，蒐羅到當時為止，他自己與其他數學家在這方面的所有研究。

這本書的確是一本傑作，但是，一般人都難以親近它的大部分內容。於是，在1814年，拉普拉斯在其二版中，寫了一篇長達153頁的序文。這篇序文後來獨立出版名為《機率的哲學小品》(Philosophical Essay on Probabilities) 的小冊子，由於意在普及，故其中只包含相當少的數學符號或公式。還有，在這本小冊子中，拉普拉斯主張將數學機率應用在更廣泛的人類活動中，包括政治和我們現今所謂的社會科學。

隨著統計的研究在過去兩世紀的發展，機率論這門學問已經提供了許多工具，讓伯努利和拉普拉斯的理想成真。今天，機率的想法不僅應用在他們建議的領域之中，而且也擴及教育，商業，醫學以及很多其他學門。 

參考書目

1. 比爾‧柏林霍夫 / 弗南度‧辜維亞 (2008).《溫柔數學史》，台北：博雅書屋。
2. 齊斯‧德福林 (2011).《數學的語言》，台北：商周出版社。