費馬最後定理（Fermat’s Last Theorem）

費馬最後定理（Fermat’s Last Theorem）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

費馬最後定理是一個響叮噹的名字，本文提供一個簡要的故事版本，希望有助於理解此一定理的解決過程之歷史意義。

費馬最後定理當然跟費馬有關，請先看費馬的故事。

費馬（Pierre de Fermat, 1601-1665）是數學史上公認最偉大的業餘數學家。他年輕時他就讀法學院，後來擔任法國城市土魯斯（Toulouse）的市議員。隨著經歷與職位的提升，最後成為土魯斯刑事法庭的成員。作為一位法官，費馬被大家認為頭腦清楚，但時常心不在焉。

從上述這個有關費馬生涯的片段，完全看不出為何直至今日我們仍會紀念他與談論他。我們會這麼做的理由，當然與他生命的另一面向有關。在費馬人生的某一時間點，或許是他在波爾多（Bordeaux）就讀大學的時候，他發現了數學，而這個發現成為他寄託終生的熱情所在。

如同那個時代的許多學者，費馬的數學工作起源於對古希臘數學著作的研究。他早期的工作之一，是「復原」偉大幾何學家阿波羅尼斯的著作－ 這顯然是文藝復興學術傳統的延續。那本書在當時只有斷簡殘篇流傳下來（大多數是結果的列表，沒有證明），而費馬嘗試讀懂它，將闕漏補上，並給出完整的證明。他從希臘幾何得到啟示，發展出許多重要的想法。例如，為了解決某些幾何問題，他發明了一種方法，可用方程式描述曲線，這是座標幾何的一種形式。他也發展出一些求極大值、極小值與切線的方法，其中的想法類似於後來牛頓與萊布尼茲在十七世紀末發明的微積分。

費馬從未將他任何的研究結果出版。他是在書信中討論數學－ 這是數學尚未制度化之前，數學家交流的主要方式之一。剛開始，他與友人通信，最後，也跟其他的數學家在書信中交流。他在幾何上的研究引起了頗多注意，所以，費馬在信中非常仔細地討論這部分。因此，我們現在對費馬這部分的研究所知甚詳。

但是，其他的數學問題也讓費馬著迷。那是些有關數論的研究。在研究數論的過程中，他接觸到了古希臘數學家丟番圖（Diophantus）的研究。丟番圖對費馬有巨大的影響。費馬所說「關於整數的問題」，開始出現在他的書信之中。

費馬死後，他的兒子薩姆爾 (Samuel) 在1607年決定出版父親的部分筆記。特別地，他發現在父親擁有的一本丟番圖的著作中，每頁邊緣的空白處有許多父親留下的筆記。薩姆爾決定，他不只要公開父親的筆記，他要出版一本新版的丟番圖，其中包含費馬的筆記。這就是一個大謎團的開端。

丟番圖在書中提及一個問題，要將一個平方數（如 \(25\)）寫成兩個平方數之和（如 \(16+9\)）。在這個問題旁邊，費馬寫下了「相反地，若要將一個立方數分為兩立方數，或是一個四次方分成兩個四次方，或一般任意超過二的次方分成兩個相同次方，都是不可能的。關於此事，我發現了一個令人驚歎的證明，但這裡的空白太窄，無法容納這個證明。」換句話說，費馬宣稱方程式 \(x^3+y^3=z^3\) 沒有整數解，且所有形如  \(x^n+y^n=z^n\) 的方程式，只要指數 \(n\) 大於 \(2\)，都無整數解。而且他認為自己可以證明這個說法。

從十八世紀開始，數學家開始意識到費馬那些「關於整數的問題」有多麼深刻。其中最重要的推手是歐拉（Leonhard Euler）。接著，是十九世紀的數學家蘇菲‧姬曼（Sophie Germain，一位傑出的女數學家）、狄里克利（Lejeune Dirichlet）、勒讓德（Legendre）、拉梅（Gabriel Lamé）以及庫默爾（Ernst Kummer）等等，都做出了階段性的貢獻。

不過，在庫默爾之後，有關這個定理的一般證明仍無多少進展。1909年，一位富有的德國數學家沃爾夫斯凱爾（Paul Wolfskehl）捐出十萬馬克賞金，給提出正確證明的人。在此重賞之下，失敗証明的提供者源源不絕而來，但隨著一次大戰之後德國的經濟崩潰，賞金也消失了。接下來的數十年，僅僅為了可能得到的名聲，就使得人們創造出更多錯誤的証明，可是，那有效的証明似乎還是遙不可及。

因此，當英國數學家懷爾斯（Andrew Wiles）在1993年6月宣布他找到證明時，令世人十分驚訝。原來，在1987年美國數學家里貝特（Kenneth Ribet）證明了一個定理，將費馬最後定理與1950年代被提出的谷山－志村（Taniyama-Shimura）猜想連結起來。這個連結讓懷爾斯開始嘗試解決問題，在經過數年的單獨工作之後，他設法證明了那個猜想，也完成了費馬最後定理的証明。

試想，費馬在空白處的筆記是於1630年代寫下的，且這段筆記在數百年後成為數學界最有名的未解問題，由此我們不難了解，這會引起全世界多少的關注與反應。電子郵件四處傳遞這個消息。《紐約時報》頭版與美國國家廣播公司（NBC）晚間新聞都報導此事。所有人都想一睹這個證明。

不過，接下來的是數個月的沉寂。証明太過困難的各種謠言甚囂塵上。終於，在1993年12月，懷爾斯以電子郵件向大家宣布，在證明中的確有一個邏輯鏈結上的缺陷，而他正在著手解決。接下來的又是幾個月，懷爾斯必定是狂熱地工作。他說研究這個問題的前六年是很愉快的，但最後一段嘗試解決「缺陷」的時期則極為痛苦。儘管如此，最後他還是成功了。1994年9月，他宣布證明已完成，且讓兩份手稿流通。一份由懷爾斯寫成，包含大部分的證明，除了其中一個步驟必須參考另一份手稿。第二份手稿由他自己與他之前的學生理查‧泰勒（Richard Taylor）完成，包含了那個完成證明的關鍵步驟。經過了約350年的歲月，費馬最後定理終於成為一個定理了！而懷爾斯也在1998年的國際數學家大會中獲頒特別獎（有史一來第一遭），以表彰他年逾不惑，仍能完成此一不朽的成就。

從這個簡短的故事，教師可以跟學生分享哪些「歷史教訓」呢？由於畢氏定理的整數解（亦即畢氏三數解）密切相關刁番圖的原始問題，所以，至少討論前者之解法，再設法連結到三次冪的解之不可能。製造這種數學知識的大驚奇，或許是可以參考的教學策略吧。

參考書目：

1. 齊斯‧德福林 (2011).《數學的語言》，台北：商周出版社。
2. 賽門‧辛 (1998).《費瑪最後定理》，台北：台灣商務印書館。