賭金分配問題 (The Problem of Division of the Stakes)(一)

賭金分配問題 (The Problem of Division of the Stakes)(一)
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師

機率史上，賭金分配問題曾引起許多數學家們的討論，筆者將這些內容和數據略作調整，使得能夠用一道題目為例，分別呈現出數學家–帕西歐里、塔爾塔利亞、費馬和巴斯卡–對於賭金分配的看法：

假設甲乙兩人進行一場公平的比賽，且甲乙兩人實力相當，各出資 \(12\) 枚金幣作為賭注，必須要贏 \(6\) 局才能贏得賭金，目前甲以 \(5:3\) 領先。在此假設下，若比賽因故終止，則此時應如何分配賭金？

帕西歐里 ( Luca Pacioli, 1445-1509 ) 的解法根據已贏得的局數比例作分配，甲得 \({\rm{24}} \times \frac{{\rm{5}}}{{\rm{8}}} = {\rm{15}}\) 枚金幣、乙得 \({\rm{24}} \times \frac{{\rm{3}}}{{\rm{8}}} = {\rm{9}}\) 枚金幣。

塔爾塔利亞 ( Niccolò Tartaglia, 1499-1557 ) 注意到帕西歐里的答案是錯誤的，因為若假設局數比為 \(1:0\)，則甲拿走所有的賭金，這顯然毫無道理。他認為甲乙兩人相差 \(2\) 局，這 \(2\) 局的差距是總局數 \(6\) 局的三分之一，甲應拿走乙方賭金的三分之一，也就是甲得 \({\rm{12}} + \frac{{{\rm{(5 – 3)}}}}{{\rm{6}}} \times {\rm{12}} = {\rm{16}}\) 枚金幣，乙得 \({\rm{12 – }}\frac{{{\rm{(5 – 3)}}}}{{\rm{6}}} = {\rm{8}}\) 枚金幣。

不過，塔爾塔利亞對自己的答案並沒有信心，他說：「這樣的一個問題解法是法律上的，而非數學上的。所以無論怎樣分配都有理由上訴。」我們知道塔爾塔利亞的方法也是錯誤的，因為 \(6:4\) 也是差距的 \(2\) 局，那麼甲得 \(16\) 枚是不合理的。

巴斯卡( Blaise Pascal, 1623-1662 )認為賭金分配取決於還缺少的局數(甲缺 \(1\) 局、乙缺 \(3\) 局)和獲得賭金所需的總局數(\(6\) 局)。例如，三勝制戰成 \(2:0\)，四勝制戰成 \(3:1\)，五勝制戰成 \(4:2\) 和六勝制戰成 \(5:3\)，賭金分配的結果是一樣的，甲需要再贏一場，乙再贏三場。

在1654年，帕斯卡給費馬的信中，一開始他假設在 \(5:5\) 時比賽中斷，將 \(24\) 枚金幣均分，甲得 \(12\) 枚、乙得 \(12\)  枚。接著，假設戰績在 \(5:4\) 時比賽中斷，如果甲贏得下一局比賽，\(24\) 枚金幣全部給甲；如果甲輸了，則比數為 \(5:5\)，甲得 \(12\) 枚、乙得 \(12\) 枚。

因此，甲無論輸贏至少都會得到 \(12\) 枚金幣，剩下 \(12\) 枚由甲乙兩人均分，即甲得 \(18\) 枚、乙得 \(6\) 枚金幣。

同樣的道理，假設戰績在 \(5:3\) 時比賽中斷，如果甲贏得下一局比賽，\(24\) 枚金幣全部給甲；如果甲輸了，比數為 \(5:4\)，則由上一段分析結果，甲得 \(18\) 枚、乙得 \(6\) 枚金幣。

由此可知，甲無論輸贏至少都會得到 \(18\) 枚金幣，剩下 \(6\) 枚由甲乙兩人均分，所以甲得 \(21\) 枚、乙得 \(3\) 枚金幣。

費馬(Pierre de Fermat, 1601-1665)在書信往返中也說明自己找到的辦法。首先，考慮最多還要再比幾局才能產生贏家。甲須再勝 \(1\) 局才贏，乙須再勝 \(3\) 局才贏，則最多需要再經過 \(1+3-1=3\) 局比賽。再比賽三局所有可能的情況為(\(A\)表甲勝、\(B\)表乙勝)：

如果這些結果出現的機率是一樣的，我們就可以根據 \(7:1\) 的比例分配賭金，甲得 \(21\) 枚、乙得 \(3\) 枚金幣。

這個從卡丹諾時代就開始流傳的賭金分配問題，延宕百年停滯不前，無法克服，直到巴斯卡和費馬以大量的書信討論，這個問題才得以開花結果，為機率論的發展開啟一道曙光。當我們理解了這段歷史，除了知道數學家如何克服困難，其中的數學思維也給我們很好的啟發 (參見賭金分配問題(二))。

參考文獻

1. Katz, Victor J. (1993) ,《A history of mathematics.》, Harper Collins College Publishers.
2. 曼羅迪諾著、胡守仁譯(2012)，《醉漢走路-機率如何左右你我的命運和機會》，台北：天下遠見出版社。