由問題的起源看導數的定義I

由問題的起源看導數的定義I
臺北市立西松高中 蘇惠玉教師

前言

在高中的微積分教學脈絡中，一定先教授極限的觀念與函數的極限，然後在進入微分單元時，直接定義何謂導數，即多項式函數 \(f(x)\) 在點 \((a,f(a))\) 的導數為 \(f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)，然後再說明導數的意義以及應用。

然而為何導數要這樣定義？我們在定義一個數學物件之前，通常是問題導向的，有需要，才有發明。那麼導數或是微積分來自於什麼需求？為何會導致這樣的定義形式？在這一系列的文章中，筆者試圖透過這一段數學史的發展，從問題的源頭說起，經由費馬求極值與牛頓求切線的方法，並利用問題來學習與思考，最後理解何以會以 \(f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\) 這種形式來定義導數的必然性。

問題的來源

在數學發展史上，隨著解析幾何的發明與函數觀念的採用，微積分技術的出現似乎已水到渠成，而當時十七世紀科學研究與應用的需求，更為微積分技術的產生增強了社會脈絡面向的因素。在當時，主要的問題有四個類型：

1. 求瞬間速度與瞬間加速度。
   在當時運動物體所涉及的速度與加速度是隨時間而變化的，已不能像計算平均速度時一般以距離除以時間來計算。
2. 找曲線之切線與法線。
   由於透鏡設計的需求，當時研究光學的科學家們，如費馬（Pierre de Fermat, 1601~1665）、笛卡兒（René Descartes, 1596~1650）、惠更斯（Christiaan Huygens, 1629~1695）與牛頓（Isaac Newton, 1643~1727）等人必須知道光射向透鏡的角度，才能引用折射定律，因此，必須求出曲面的法線，而法線垂直切線，也轉換成求切線問題。另外，同樣來自於運動學的研究，運動物體在任意瞬間的運動方向，就是運動軌跡在那一點的切線方向，因此，也促進了曲線的切線求法之研究。
3. 求函數的極大值與極小值。
   如在拋射運動中求能得到砲彈最大射程的角度以及拋射的最大高度；研究行星與太陽、地球之間的最大與最小距離。
4. 求曲線的長度、曲線所圍的面積、曲面所圍的體積、物體的質量重心等。
   希臘人本來已有用逼近法求體積與面積，但方法缺乏一般性，又常無法得到正確的答案。於是，在阿基米德的作品在歐洲廣為流傳時，計算體積、面積及質量重心的興趣又再度興起。

在前面的四個問題類型中，前面三個問題本質上都是一種變量的瞬間變化率，而第四個問題為前三個的逆問題。

以求瞬間速度為例，當物體以變速運動時，每一瞬間此物體都有一個瞬時速度，但是若用平均速度的求法來看，此時移動距離是0，所花的時間也是0，而 \(\frac{0}{0}\) 是無意義的，所以，必須讓此時的變量時間有一段微小的變化（即微小的時間間隔），藉此來討論運動體在這一點左右的平均速度變化率。

當這個微小的增量極微小，或是說可以無限小時，變化率所逼近的數，即為所求的瞬時速度或切線斜率。然而，當吾人假設微小的增量然後順利求出變化率 \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) 之後，又該怎麼讓這個微小的增量「消失」呢？在微積分的基礎完善之前，許多偉大的數學家都曾糾結在這個問題上，微積分的方法也因為這一個問題備受攻擊。

費馬求極值的方法

在費馬於1637年寄出的一封信中，包含了他如何求函數極大值的方法，其中並收錄了他於1629年發現的切線求法：

求極大值與極小值的全部理論以二個未知量和下述法則為基礎：

設 \(a\) 是問題中的任一未知量，讓我們用包含 \(a\) 的次方的諸項來表示極大值或極小值。現在用 \(a+e\) 來代替原來的未知量 \(a\)，並且用包含 \(a\) 和 \(e\) 次方的諸項來表示極大值或極小值。然後使這兩個極值表達式相逼近 (adequate，Diophantus的術語，表示盡可能的逼近一個數)，並消去公共項，…用 \(e\) 或 \(e\) 的高次方除各項，使 \(e\) 從至少有一項中消失，然後捨棄所有仍有 \(e\) 的項，使兩邊的剩餘項相等。…最後這個方程式的解所產生的 \(a\)值，代入原來的表達式就可得出極大值或極小值。

這裡舉一個例子：

將線段 \(AC\) 分成兩段，分段點 \(E\)，使得 \(AE\times EC\) 有最大值。

費馬的作法是這樣的，先假設 \(AC=b\)，分成的兩線段長中一段為 \(a\)，所以另一段長為 \(b-a\)，

它們的乘積 \(AE\times EC\) 即為 \(a(b-a)=ba-a^2\)，

我們要的就是這個積的極大值，這個也就是變數 \(a\) 的函數 \(f(a)\)。

然後讓 \(a\) 有一個微小的增量 \(e\)，

即第一條線段為 \(a+e\) (\(e\) 為微小的變化量)，第二線段將為 \(b-a-e\)，

它們的積變為 \(f(a+e)=(a+e)(b-a-e)=ba-a^2+be-2ae-e^2\)；

他說：「這個表達式必須逼近前一個表達式」，

也就是說 \(ba – {a^2} + be – 2ae – {e^2}\sim ba – {a^2}\)，消去公共項後，

得 \(be\sim 2ae+e^2\)，再消去 \(e\) 得 \(b=2a\)。為了解決所提問題，最後必須取 \(a\) 為 \(b\) 的一半。

費馬最後說：「我們很難指望有更一般的方法了。」

費馬求極大值的基本想法，就如同刻卜勒（Johannes Kepler, 1571~1630）在《測量酒桶的新立體幾何》中觀察到的結果一樣：「在最大值附近，在兩端的減少開始變得難以察覺」。所以，當a為極大值產生時的線段長，那麼在a的附近，如果增加了微小的長度e，那麼，增加後的乘積（函數值）與原本的差異「難以察覺」，於是，費馬只好以「將他們盡可以的逼近」的說法來表達。

在費馬的方法中，我們可以發現，以現在的符號來理解的話，

他的方法本質上即是計算當 \(e\) 是個很微小的量時（亦即趨近於 \(0\)），

讓 \(\frac{f(a+e)-f(a)}{e}\) 這個值「盡可能的逼近」\(0\)，

只是在「不敢提」或是沒有完備的極限概念的情形下，

費馬僅能以如此模糊的方式說明這個「微小增加量」的處理原則：

盡可能的逼近，將 \(e\) 一下子當成不等於 \(0\) 的約分掉，一下子又當成等於 \(0\) 的忽略不計消失掉，

這一點接下來的牛頓也沒有處理的比較好，只是將方法精鍊許多而已，

我們下一篇文章在詳細說明。

連結：由問題的起源看導數的定義II

參考文獻

• Calinger, R. ed. (1995). Classics of Mathematics. New Jersey: Prentice-Hall, Inc.
• Katz, Victor J. (1993). A History of Mathematics: An Introduction. New York: HarperCoollins College Publishers.
• 李文林主編 (2000).《數學珍寶》，台北：九章出版社。
• Kline, M. (1983).《數學史—數學思想的發展》（林炎全、洪萬生、楊康景松譯），台北：九章出版社。
• Kline, M.(2004).《數學確定性的失落》（趙學信、翁秉仁譯），台北：台灣商務印書館。