自然數的運算性質

自然數的運算性質(Properties of Natural Number Arithmetic)
國立中央大學數學系單維彰副教授/國立中央大學數學系單維彰副教授責任編輯

自然數的運算性質是一切「數」之運算性質的原型，而這些性質來自於我們用自然數當作點數ㄕㄨˇ工具的語言含意。例如，當我們… 說到「一共有幾個」，通常就在使用自然數的加法運算； 說到「多了幾個」或者「少了幾個」，通常就在使用自然數的加法運算； 同一個自然數接連著加幾次，就是乘法運算； 某數接連著減去同一個自然數，就是除法運算。

其實自然數的運算，只是將日常說話的語言含意，用一組特殊的術語、數字和符號表達出來而已，實在並不高深。我們假設讀者已經認識自然數運算的符號，並且已經能夠熟練地操作自然數的加、減、乘、除運算，這四種運算統稱為四則運算。

以下，我們整理自然數的運算性質，並略加闡述。至於自然數之四則運算的具體意涵，以及歸納出以下運算性質的理由，讀者可以參考向前的連結。
以下，我們令$$m$$、$$n$$、$$k$$都代表自然數；除非在項目中特別聲明它們的關係，否則都是任意的自然數。

$$\blacksquare$$ 自然數的加法結合律：$$(m+n)+k=m+(n+k)$$
連加的時候不在乎先加哪兩個數，例如
$$37+48+22=37+(48+22)=37+70=107$$

$$\blacksquare$$ 自然數的加法交換律：
相加不在乎順序，例如
$$37+48+63=(37+63)+48=100+48=148$$。

$$\blacksquare$$ 自然數的加減互逆：如果$$m+n=k$$，則$$k-n=m$$；反之亦然，如果$$m>n$$而且$$m-n=k$$，則$$k+n=m$$。
可以用來驗算，例如計算$$93-26=67$$之後，用$$67+26=93$$驗算。

$$\blacksquare$$ 自然數的乘法結合律：$$(m\times{n})\times{k}=m\times(n\times{k})$$
連乘的時候不在乎先乘哪兩個數，例如
$$43\times{25}\times{4}=42\times(25\times{4})=42\times{100}=4200$$

$$\blacksquare$$ 自然數的乘法交換律：$$m\times{n}=n\times{m}$$
相乘不在乎順序，例如$$16\times{23}\times{25}=(25\times{4}\times{4})\times{23}=23\times{400}=9200$$。

$$\blacksquare$$ 自然數乘法對加法的分配律：$$m(n+k)=m\times{n}+m\times{k}$$
把比較複雜的乘法換成兩個比較簡單的，例如
$$15\times{42}=15\times(40+2)=600+30=630$$。

$$\blacksquare$$ 自然數的乘除互逆：如果$$m\div{n}=k$$，則$$m=k\times{n}$$；反之亦然，如果$$m\times{n}=k$$，則$$m=k\div{n}$$而且$$n=k\div{m}$$
可以用來驗算，例如計算$$456\div{38}=12$$之後，用$$38\times{12}=380+76=456$$驗算。

用分式更容易表現乘除互逆。將$$m\div{n}$$寫成$$\frac{m}{n}$$，則$$\frac{m}{n}=k$$在「交叉相乘」之後就是$$m=kn$$。同理，$$m=\frac{k}{n}$$和$$n=\frac{k}{m}$$也都是$$mn=k$$的「交叉相乘」結果。而所謂「交叉相乘」，其實是等量公理的另一種形式。等量公理是說…

$$\bigstar$$等量加等量，其值相等：如果$$m=n$$，則$$m+k=n+k$$。
$$\bigstar$$等量減等量，其值相等：如果$$m=n$$而且$$m>k$$，則$$m-k=n-k$$。
$$\bigstar$$等量乘以等量，其值相等：如果$$m=n$$，則$$m\times{k}=n\times{k}$$。
$$\bigstar$$等量除以等量，其值相等：如果$$m=n$$，則$$m\div{k}=n\div{k}$$。

根據等量公理，在$$\frac{m}{n}=k$$之等號兩側均乘以$$n$$，就是$$m=kn$$。在$$mn=k$$之等號兩側均除以$$n$$，就是$$m=\frac{k}{n}$$；均除以$$m$$，就是$$n=\frac{k}{m}$$。

向前連結：自然數，自然數的大小和加減，自然數乘除
向後連結：實數的運算性質