連續方程式(Equation of continuity)

連續方程式(Equation of continuity)
國立嘉義高級中學物理科李文堂老師/國立彰化師範大學物理學系洪連輝教授責任編輯

理想的流體在一個粗細不均勻的管子中流動時，每單位時間由一端流入的液體的質量，等於由另一端流出的液體質量，管中截面積分別為A₁以及A₂處，液體的流速分別為V₁及V₂由質量守恆定律，可以推導出A₁V₁=A₂V₂。
這個關係是稱為連續方程式(Equation of continuity)。

河水在河道較寬較深處(截面積較大)流速較慢，在寬度狹窄且較淺處，特別湍急；澆花時用手指頭把塑膠水管的出水口捏細，水的流速大，噴得遠；人體中的微血管雖然很細，但是因為條數甚多所以總截面積比動脈大，血液流速較動脈慢，都是這個道理。 一個圓形出口的水龍頭，用尺(最好用游標尺)測量出水口的直徑，計算出面積A₁；打開水龍頭，讓水穩定流動後，用一個杯子接水並同時計時，在t秒內流入杯中的水體積V，則流量速率R=V/t=A₁V₁，就可以算出水龍頭出水口的流速V₁。重力的作用，使水的流速漸快，面積漸小，在出水口下方h處，用尺量得截面半徑算出A₂，由A₁V₁=A₂V₂可求出V₂，V₁及V₂應滿足V₂ ²=V₁ ²+2gh(g：重力加速度)。但是由於空氣阻力、液體的表面張力的作用；再加上流體流速愈快壓力愈小的白努利現象等等的作用，所以液柱並非單純的逐漸縮小，仔細觀察還會看到截面積有變小再變大，又變小，最後還會散開成顆粒狀的噴出。這個趣味性的題材值得進一步探討。

連續方程式寫成A₁V₁=A₂V₂流體力學中簡化的方程式，更深一層的考慮，連續方程式是微分方程式，電磁學裡有名的馬克士威方程式(Maxwell’s equations)，四個方程式中的兩個也是連續方程式；量子力學的Conservation of probability 亦可形成連續方程式。

參考資料：http://en.wikipedia.org/wiki/Equation_of_continuity