換底公式

換底公式 (Formula of the change of base)
國立北門農工職業學校數學科李建宗老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

你或許會懷疑，為什麼對數表只有以 \(10\) 為底，那其他的呢？想當然如果每個底數都要一個對數表，那應該就會有一本厚厚的對數表專書供查詢，而非像高中課本對數表只有兩頁就夠用了。既然如此，那非 \(10\) 為底的對數值，要如何透過查表去運算呢？如過你問你自己，應該會想到，得弄個公式來轉換才行，讓這個非 \(10\) 為底的對數值，可以運算出和 \(10\) 為底對數值有相關？而這個公式名稱就叫做換底公式。

那一個對數值 \(y=\log_ax\)（\(a>0\) 且 \(a\neq{1}\)；\(x>0\)）表示 \(x\) 可以寫成 \(a\) 的 \(y\) 次方，如果想直接透過查表得知 \(y\) 多少？除非 \(a\) 是 \(10\)，不然就得透過之前構思，將 \(a\) 換成可以查表的 \(10\)，也就是說 \(a=10^s\Longleftrightarrow\log_{10}a=s\)，透過對數律運算和查表可以得到 \(s\) 的值；而原本 \(x=a^y\) 就會變成 \(x=(10^s)^r\)，所以 \(x\) 也可化成底數為 \(10\) 對數相關值。

那透過對數定義，我們就可以假設 \(t=\log_{10}x\)，而 \(t\) 數值透過對數律運算和查對數表，也可以得到一個確定數值。因此，\(s\) 和 \(t\) 都可以求得，所以，欲求 \(y\) 就可以等於 \(\displaystyle\frac{t}{s}=\frac{\log_{10}x}{\log_{10}a}\)。例如要查詢 \(\log_23\) 值為多少？只需利用對數表查詢 \(\log_{10}{3}\) 和 \(\log_{10}{2}\)，再將兩者相除就可得之。

換底公式也和一般公式一樣，並非得將底數限制在 \(10\) 或者只用於查表，而是有其一般性，現在就將一般性換底公式描述如下：

\(\displaystyle\log_ax=\frac{\log_bx}{\log_ba}\)

其中 \(a\) 和 \(b\) 是不等於 \(1\) 的正實數，\(x\) 是正實數。

由上述公式可以了解，當我們在使用換底公式時，得先確定想換之底數 \(b\)，接著將真數與底數都換成以 \(b\) 為底，分別求對數值 \(t=\log_bx\) 和 \(s=\log_ba \)，最後便可得到

\(\displaystyle\log_ax={\log_b}^s{b}^t={\log_b}^s(b^s)^{\frac{t}{s}}=\frac{t}{s}=\frac{\log_bx}{\log_ba}\)

換底公式也可以應用在對數連鎖律上，即

\(\displaystyle\log_ab\times{\log_bc}=\frac{\log_db}{\log_da}\times\frac{\log_dc}{\log_db}=\frac{\log_dc}{\log_da}=\log_ac\)

，其中 \(a\)、\(b\) 和 \(d\) 都大於零且不等於 \(1\)，\(c\) 為一正數。