懸掛物體的鉛直彈簧振盪—受力分析

懸掛物體的鉛直彈簧振盪 (Vertical Mass-Spring Oscillator)—受力分析
國立臺灣師範大學物理系曾鈺潔碩士生/國立臺灣師範大學物理系蔡志申教授責任編輯

懸掛物體的鉛直彈簧振盪 (Vertical Mass-Spring Oscillator) 是將一個輕彈簧垂直懸吊，末端懸掛一個重物，並利用彈簧恢復力的作用，使重物作上下來回的振盪。因為此系統除了受彈簧恢復力的作用，還受重力的影響，所以和水平放置的彈簧振盪並不相同。在此將針對重力影響作進一步說明。

彈簧的振盪運動主要是靠本身的恢復力（restoring force）作用造成。由虎克定律（Hooke’s law）可知：在某一限度範圍內，彈簧的恢復力 $$F$$ 和形變方向相反，而量值與伸縮變化量 $$\Delta x$$ 成正比，可表示成：$$\vec{F}=-k\Delta\vec{x}$$，其中 $$k$$ 為彈力常數（force constant）。

現在，在鉛直彈簧的末端懸掛一個重物，該重物的重力會拉伸彈簧，改變彈簧長度，同時產生恢復力；因此，重物會同時受到重力和恢復力作用，這兩種力的合力影響著鉛直彈簧的運動情形。

※在此將重物視為一個質點，並位於彈簧末端。故在分析受力情況時，皆以重物質心位置討論。如圖一所示。

首先，討論最簡單的情況。我們可以用手支撐重物，緩慢放下，讓彈簧隨重力作用伸長。當彈簧伸長到某一長度後，便可支持重物，不需再用手支撐，而彈簧與重物皆可保持靜止。這時，該系統達到靜力平衡（static equilibrium），亦可說重物所受合力為零。又彈簧恢復力與重力方向相反，所以可知在此情況下，重力=恢復力。

若重物質量 $$m$$，其重力 $$\vec{F_g}=m\vec{g}$$；恢復力 $$\vec{F_x}=-k\Delta \vec{x}$$

合力 $$\vec{F_g}+\vec{F_x}=0\rightarrow m\vec{g}=k\Delta\vec{x}$$

令此平衡狀態下，彈簧總長為 $$l_A~(l_A>l_0)$$

故彈簧伸長量 $$\Delta\vec{x}=\vec{x_0}$$，量值 $$|\Delta\vec{x}|=|\vec{x_0}|=l_A-l_0\rightarrow m\vec{g}=k\vec{x_0}$$

由上式可知：只要懸掛重物的質量固定，則 $$x_0$$ 也是定值；意指重物會有一個平衡位置。

進一步，在上述平衡狀態下改變彈簧的長度，無論將其伸長或縮短，皆會改變恢復力，使恢復力與重力不再相等，合力亦不為零，因而促使重物運動。

若一開始先使彈簧長度伸長至 $$l_1~(l_1>l_A)$$，令此時物體所在位置為 $$\vec{x_1}$$，彈簧伸長量 $$\Delta \vec{x}=\vec{x_1}$$，則恢復力會大於重力（如圖三所示）

改成公式簡單表示：$$\vec{F_x}=-k\vec{x_1}$$，$$|\vec{x_1}|=l_1-l_0$$；$$\vec{F_g}=m\vec{g}=k\vec{x_0}$$

而物體所受合力：$$\vec{F_{all}}=\vec{F_x}+\vec{F_g}=k(\vec{x_0}-\vec{x_1})=-k(\vec{x_1}-\vec{x_0})$$

由牛頓第二運動定律（Newton’s second law of motion）：$$\vec{F}=m\vec{a}$$，可知此合力造成重物向上加速運動。

相反地，若一開始自平衡位置壓縮彈簧長度至 $$l_2~(l_2<l_A)$$，令此時物體所在位置為 $$\vec{x_2}$$，彈簧伸長量 $$\Delta \vec{x}=\vec{x_2}$$ 【註 2】

則恢復力會小於重力 $$\vec{F_x}=-k\vec{x_2}$$，$$|\vec{x_2}|=l_2-l_0$$（如圖四所示）

而物體所受合力：$$\vec{F_{all}}=\vec{F_x}+\vec{F_g}=k(\vec{x_0}-\vec{x_2})=-k(\vec{x_2}-\vec{x_0})$$

同理，由牛頓第二運動定律可知，此合力造成重物向下加速運動。

綜合上述結果，可以發現：

懸掛於鉛直彈簧上的物體所受合力方向和相對平衡位置的形變方向相反，

令物體位置為 $$\vec{x}$$，所受合力可以簡單表示：$$\vec{F_{all}}=-k(\vec{x}-\vec{x_0})=-k\Delta\vec{x}$$

而該形式與虎克定律 $$\vec{F}=-k\Delta\vec{x}$$ 相同，只有平衡位置不同。

我們知道，遵守虎克定律的彈簧振盪運動即是一種簡諧運動（Simple Harmonic Motion）。而懸掛物體的鉛直彈簧振盪運動形式又和遵守虎克定律的振盪運動相同，因此，我們探討的這個系統的運動模式也是一種簡諧運動，而其振盪情形如下：【註 3】

【註 1】：當彈簧不受任何外力、自然放置於水平面上，可測量其自然長度為 $$l_0$$。而輕彈簧質量很小，可以忽略，故在輕彈簧垂直懸吊，未掛重物時，彈簧長度等同其自然長度 $$l_0$$。
【註 2】：圖四-2雖然看似與圖四不同（壓縮彈簧長度 $$l^{‘}_2$$ 甚至比自然長度 $$l_0$$ 小）但若以向量表示，其結果會與圖四相同，即 $$\vec{F_x}=-k\vec{x’_2}$$

【註 3】：懸掛物體的鉛直彈簧振盪模式遵守簡諧運動，而最大振幅由起始位置（手釋放重物的位置，可能是最高點 $$x_C$$ 或最低點 $$x_B$$）決定，和自然長度無關；因此最高點的恢復力可以是正值（如圖四）、負值（如圖四-2）或零（重物剛好位在 $$x=0$$）。

資料來源

1. 管傑雄、孫允武、林中一、羅芳晁，物質科學（物理篇）上，三民書局出版教科書，1-1  力的量度 ； 3-5-4  S.H.M.之進一步分析