變質量運動—火箭（Rocket）

變質量運動—火箭（Rocket）
國立彰化高級中學物理科賴文哲老師/國立臺灣師範大學物理系蔡志申教授責任編輯

假設火箭在不受重力及空氣阻力作用下，作一維加速度運動，令任一時間 $$t$$ 的火箭質量為 $$m$$ 速度為 $$v$$，經過時間 $$dt$$ 後，火箭質量為 $$m+dm$$ 速度為 $$v+dv$$，火箭廢氣噴出的速度相對於慣性座標觀察者的速度為 $$u$$，由噴氣前後動量守恆，（$$v_{rel}$$、$$u$$、$$v$$ 符號法則相同，$$dm$$ 為負值、$$dv$$ 為正值）

$$mv=(m+dm)\times(v+dv)-dm\times u$$

由相對速度關係，設火箭相對於廢氣的速度是 $$v_{rel}$$

$$v+dv=u+v_{rel}$$，以 $$u=v+dv-v_{rel}$$ 代入上式

$$mv=mv+mdv+vdm+dm\times dv-dm\times(v+dv-v_{rel})-v_{rel}dm=mdv$$

兩邊同除以 $$dt$$

$$\displaystyle -\frac{dm}{dt}v_{rel}=m\frac{dv}{dt}$$

將火箭單位時間損失的質量 $$-\frac{dm}{dt}$$ 計為 $$R$$，$$\frac{dv}{dt}$$ 為加速度 $$a$$

$$Rv_{rel}=ma=F$$，此作用力稱為火箭引擎的推力，此推力與單位時間的噴氣量以及氣體的噴發速率有關，這兩個物理量愈大，引擎推力就愈大。

固態燃料火箭不需要額外的燃料槽，也不需要輸送或加壓的管線，在構造上固體火箭發動機比液態火箭發動機要簡單許多，燃料佔火箭質量的比例也比較大，多半使用在推力需求較為固定，一經啟動就不需要停止的設計上面，其缺點是，一旦點燃後即穩定燃燒至燃料用完，中途難以控制改變其推力大小。

液態燃料火箭的燃料和氧化劑是以液態的方式儲存，使用的時候才以氣態的方式混合，燃燒產生推力，在構造上較複雜，但具有可調整推力的優點。

再由 $$\displaystyle dv=-v_{rel}\frac{dm}{m}$$

積分可得 $$\displaystyle \int^{v_f}_{v_i}dv=-v_{rel}\int^{m_f}_{m_i}\frac{dm}{m}$$

$$\displaystyle v_f-v_i=v_{rel}\ln\frac{m_i}{m_f}$$

由上是可知，燃料佔火箭質量的比例愈大，火箭的速度變化量也愈大。

火箭的設計可分為單節火箭與多節火箭，單節火箭構造簡單，但是往往外殼所佔質量過大，燃料耗盡後 $$m_f$$ 仍很大，以致於無法得到足夠的末速 $$v_f$$。

多節火箭可陸續拋棄用盡的燃料艙來減小火箭質量，較有效得到推進的效果。但多節火箭除造價昂貴之外，在拋棄用盡的燃料艙時也是一個很關鍵的技術，若不能順利脫離，將造成整個發射工作毀於一旦。

太空梭系統總共使用五具發動機來完成起飛的動作，其中三具主引擎在軌道運行器的後面，可產生約 $$5\times 10^5~kgw$$ 的推力；另外還有兩具外掛在外部燃料箱旁邊的固態火箭助推器，可產生約$$2\times 10^6~kgw$$ 噸的推力。除此之外，還有兩具小的軌道運行發動機和若干個小型噴射推進器。

參考資料：
1.維基百科–固態燃料火箭  http://en.wikipedia.org/wiki/Solid-fuel_rocket
2.維基百科–液態燃料火箭  http://en.wikipedia.org/wiki/Liquid-propellant_rocket
3.維基百科–多節火箭  http://en.wikipedia.org/wiki/Multistage_rocket