正多邊形拼貼（一）（Regular Tessellation I）

Posted on 2011/09/14 in 數學, 集合與邏輯 with 沒有迴響 6,055 views

正多邊形拼貼（一）（Regular Tessellation I）
國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授/國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授

摘要：本文介紹有趣的正多邊形拼貼，只要有國中的知識，加上耐心就能解決問題。

看著五顏六色的圖案不斷延伸的磁磚或壁紙，是學生日常生活中最會注意到的幾何經驗之一。拼貼不是繪圖而是裝飾，工人不需要是畫家或設計者，而能製作出這些精美的效果，來自於其中簡單的重複性，也就是對稱性。

例如下面的簡單拼貼，只用到單一的正多邊形，卻能不斷延伸，因此其應用並不止於拼貼，你也可以在有規則的堆疊中看到這些圖案。

圖一

問題是，是不是只有這些正多邊形，才能這樣拼貼呢？如果允許用更多類的正多邊形，是不是還有別的拼貼樣式呢？有無窮多種嗎？

這個問題容易理解又有趣，解答的先備知識嚴格來說只有國中數學，需要的是細心的分析與綜合能力，因此很適合拿來考驗學生的數學思考能力。

我們將整個問題重新敘述如下：

假設拼貼的所有磁磚都是邊長彼此相等的正多邊形，拼貼時邊與邊必須對齊。假設拼貼的範圍是整個平面，因為沒有邊界，因此不用擔心在邊界必須要破壞磁磚的問題。

為了限制答題的範圍，並增加答案的規則性，我們加入頂點局部對稱的限制：

每個頂點周圍正多邊形的排列樣式必須相同。
也就是說，對任何兩個頂點，
正多邊形排列樣式透過平移加上旋轉或鏡射必須可以重疊。

上圖中與 \(A\)、\(B\) 兩點相鄰的，雖然都是三個正三角形與兩個正方形，但並不滿足上述的對稱性規則。拼貼有一個顯然的必要條件：與各頂點相鄰的正多邊形內角和是 \(2\pi\)（或 \(360\) 度），由國中就學過的正多邊形內角公式，得到

\(\displaystyle\sum_{i=1}^{k}\frac{(n_i-2)}{n_i}\pi=2\pi\)

其中 \(k\) 是正多邊形數，而 \(n_i\) 是第 \(i\) 個正多邊形的邊數（順序不重要），其中顯然 \(k\geq3, n_i\geq3\)。將上式整理一下可以得到下面的基本關係式：

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{k}\frac{1}{n_i}=\frac{k-2}{2},~~k\ge 3,n_i\ge 3~~~~~~(*)\)

我們先牛刀小試一下，假設只能用一種正多邊形，因此\((*)\)式變成

\(\displaystyle\frac{k}{n}=\frac{k-2}{2}\Rightarrow nk-2n-2k=0\Rightarrow (n-2)(k-2)=4\)

由於 \(n\) 和 \(k\) 都是不小於 \(3\) 的自然數，由 \(4\) 的因數分解，很容易可以得到三組解：

\((n,k)=(3,6),~(4,4),~(6,3)\)

正好對應到圖一的三種情形。

在這裡我們要強調，\((*)\)式只是拼貼的必要條件，並不保證解出來的解，一定可以拼滿整個平面。你得實際去畫或找到好的論證方式，才能確定真的可以拼貼。

底下，先觀察到一個簡單又關鍵的事實，由於所有正多邊形的內角都不小於 \(\frac{\pi}{3}\)。因此

\(\displaystyle 2\pi=\sum_{i=1}^{k}\frac{(n_i-2)}{n_i}\pi\ge \frac{\pi}{3}\cdot k\Rightarrow k\le 6\)

也就是說，與頂點相鄰的正多邊形數 \(k\) 只能是 \(3, 4, 5, 6\)，其中當 \(k=6\) 時，一定都是正三角形。

由此，許多人光靠蠻力的代入法，列出夠多的正多邊形內角也許就可以解題。當然，我們必須拒絕這種沒有未來性的解題法。我們將在下一篇針對此問題有系統地進行討論。

參考文獻：