班佛定律

班佛定律 (Benford’s Law)
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師

現行的高中教科書中，有個非常有意思的題目：

審計工作者會使用班佛法則來查帳，班佛法則是：「銀行存款的最高位數字是 $$a$$ 者的比例約為 $$\log(1+\frac{1}{a})$$」﹒根據班佛法則﹐銀行存款的最高位數字是 $$4,5,6$$ 或 $$7$$ 者的比例約有
$$(1)~20\%$$   $$(2)~30\%$$   $$(3)~40\%$$   $$(4)~50\%$$   $$(5)~60\%$$ .

這個題目由簡單的對數運算性質，如下列算式得到答案 $$(2)~30\%$$。

$$\log \left( {1 + \frac{1}{4}} \right) + \log \left( {1 + \frac{1}{5}} \right) + \log \left( {1 + \frac{1}{6}} \right) + \log \left( {1 + \frac{1}{7}} \right) \\= \log \left( {\frac{5}{4} \times \frac{6}{5} \times \frac{7}{6} \times \frac{8}{7}} \right)=\log 2\approx 0.301$$

「班佛定律」又稱為首位數字法則 ( First-Digit Law )。然而，為什麼說它有趣呢？首先，我們由 $$1$$ 到 $$9$$ 按照班佛法則逐一算出每個最高位數字的比例：

$$\begin{array}{lll}\log \left( {1 + \frac{1}{1}} \right) \approx 0.301030&\log \left( {1 + \frac{1}{4}} \right) \approx 0.096910& \log \left( {1 + \frac{1}{7}} \right) \approx 0.057992\\ \log \left( {1 + \frac{1}{2}} \right) \approx 0.176091&\log \left( {1 + \frac{1}{5}} \right) \approx 0.079181&\log \left( {1 + \frac{1}{8}} \right) \approx 0.051153\\\log \left( {1 + \frac{1}{3}} \right) \approx 0.124939&\log \left( {1 + \frac{1}{6}} \right) \approx 0.066947&\log \left( {1 + \frac{1}{{\rm{9}}}} \right) \approx 0.045757\end{array}$$

直覺上我們以為每個最高位數字的比列是相同的，但事實上，最高位數字的比例分布並不均勻，最高位數字 $$1$$ 出現的比例大約是 $$30\%$$，數字 $$2$$ 或 $$3$$ 的比例總共約 $$30\%$$，數字 $$4, 5, 6, 7, 8$$ 或 $$9$$ 的比例總共約是 $$40\%$$ ，這個現象和直覺不相符合，每個數字出現的機率並不一樣。最高位數字愈小，出現的機率愈大！底下，我們用長條圖表示，一目瞭然勝過千言萬語。

在真實世界中，很多類型的數據而且是自然產生的數據通常都遵守「班佛定律」，尤其是財務數據。因此，可使用此一自然法則檢驗財務資料的可信度，甚至糾舉偽造的假帳、揭發詐欺行為。

「班佛定律」有個著名的應用實例，此案堪稱美國華盛頓州史上最大投資詐欺案，其掏空金額高達一億美元，受波及的投資人多達 $$5000$$ 人。詐騙主謀凱文‧勞倫斯( Kevin Lawrence )和其同夥們向投資人籌資，創辦一家健身俱樂部，不過他們卻將資金花用在私人享樂上，為了掩飾挪用公款的不法行為，把資金在海外空殼空司和銀行之間轉來轉去做假帳，製造出生意興隆的假象。幸好，鑑識會計家達洛‧鐸瑞爾( Darrell Dorrell )識破此投資騙局，他將七萬多筆支票及匯款的相關數據，與「班佛定律」的最高位數字分布比對，發現這些數據無法通過檢驗。最後耗費三年司法調查，凱文‧勞倫斯被判刑 $$20$$ 年入監。

又例如，美國國稅局研究「班佛定律」以揪出逃漏稅行為，甚至也有研究員用這個定律檢驗美國總統柯林頓的報稅資料。因此，「班佛定律」在財務審計的防弊妙用，有個貼切傳神的封號：「假帳剋星」。

「班佛定律」是如何被發現的呢？ 1881 年，美國天文學家紐康( Simon Newcomb )觀察到對數表書籍前面的書頁比後面的破舊，同儕科學家們所處理的數據，最高位數字 $$1$$ 的次數要比數字 $$2$$ 來的多，依此類推，數字 $$9$$ 的書頁是最乾淨的，這些數據的呈現偏向較小數字的分布。

1938 年，美國物理學家班佛 ( Frank Benford )也注意到同樣的事情，並且提出發表。直到 1995 年，喬治亞理工學院的數學家希爾( Ted Hill )才給出班佛定律的證明。2012 年，紐澤西大學會計學教授尼格里尼( Mark Nigrini )著作的專書《班佛定律》出版，書中討論班佛定律在法務會計、審計查帳和詐欺偵查的應用，另外他也研發數字分析系統，可快速檢查資料庫數據是否造假。

假的真不了，真的假不了！辨識真假憑藉的不是幸運之神的眷顧，而是運用知識，看透表象，直指真相。

參考資料

1. 曼羅迪諾著、胡守仁譯(2012)，《醉漢走路-機率如何左右你我的命運和機會》，台北：天下遠見出版社。
2. 許志農主編(2013) ，《普通高級中學數學》第一冊， 台北：龍騰文化。
3. http://www.dfi.wa.gov/sd/kevin_laurence_sentenced.htm
4. http://en.wikipedia.org/wiki/Benford%27s_law