樣本空間( Sample space)

樣本空間( Sample space)
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師

日常生活中常使用到「可能」這個字眼，面對種種事先無法預知結果的隨機現象，觀察並求出可能產生的結果，這樣的過程叫做「試驗」。例如：投擲一顆公正的骰子，觀察它出現的點數，就是一項試驗，這項試驗有六種可能出現的結果，這些結果所形成的集合 \(S={1,2,3,4,5,6}\)，叫做「樣本空間」。簡而言之，一項試驗中所有可能發生的結果所形成的集合稱為「樣本空間」。

然而，要將可能的結果 (outcome) 看成空間中的樣本點的時候，有些微妙之處。1754年法國數學家達朗貝爾 (d’Alembert) 提出一個機率問題：

把一枚均勻的硬幣連擲兩次，至少擲出一次正面的機率是多少？

他認為有三種可能的結果：

第一次擲出正面；第一次沒有擲出正面、第二次才擲出正面；兩次都沒有擲出正面。

所以他主張至少擲出一次正面的機率是三分之二。達朗貝爾的推論是錯誤的，因為這三種結果發的發生機會並不均等，當第一次擲出正面，第二次可能擲出正面也可擲出反面，所以正確的樣本空間是

S={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}

在每一種結果發生的機會均等之假設下，至少擲出一次正面的機率是四分之三。

事實上，達朗貝爾曾發表不少數學論文，並且解決物理動能守恆的爭論，他也是十八世紀的百科全書編纂人，如此有天賦的大師級人物也會馬前失蹄，沒有察覺「機會均等」的關鍵性。今日，我們坐享機率論的果實，應謹慎分析，不可重蹈覆轍。

現在我們孰悉了樣本空間的巧妙之處，就進一步把樣本空間的威力運用到下面這個有趣的問題上：

我父親從收音機聽到下面的故事：杜克大學有兩位學生，整學期在化學課都拿到A。不過，期末考前一天，他們到另一州參加派對，沒能及時趕回學校考試，他們給教授的藉口是有個輪胎爆胎了，請教授給他們補考的機會。教授答應了，出了份題目，叫他們到不同的教室補考。第一個問題(在試卷的其中一面)占5分。他們翻到試卷的另一面，發現第二題占95分，題目是：「哪一個輪胎個爆胎？」請問兩個學生答案一致的機率有多大？我和我老爸都認為是十六分之一，對嗎？

如果學生謊稱爆胎，而且沒有串供是哪個輪胎爆胎，我們用符號 \(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\) 分別表示車子的左前、左後、右前、右後四個輪胎，再以數對 \((x,y)\) 的第一個位置 \(x\) 表示第一位同學的答案；第二個位置 \(y\) 表示第二位同學的答案，那麼樣本空間是

\(\{(A,A),(A,B),(A,C),(A,D),(B,A),(B,B),(B,C),(B,D),\)

\((C,A),(C,B),(C,C),(C,D),(D,A),(D,B),(D,C),(D,D)\}\)

\(16\) 個結果中有 \(4\) 個是兩位同學的答案一致：\((A,A),(B,B),(C,C),(D,D)\)，因此機率是十六分之四，即四分之一。

參考資料：

1. 曼羅迪諾著、胡守仁譯(2012)，《醉漢走路–機率如何左右你我的命運和機會》，台北：天下遠見出版社。
2. 許志農主編(2013)，《普通高級中學數學》第二冊， 台北：龍騰文化。
3. 蕭文強、林建著(2010)，《概率萬花筒》，香港：教育局課程發展處。
4. 萊文森著、葉偉文譯(2004)，《統計 你贏的機率》，台北：天下文化。