西方行列式的發展：結語（The Development of Determinants in West: Concluding Remarks）

西方行列式的發展：結語
（The Development of Determinants in West: Concluding Remarks）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

連結：西方行列式的發展：柯西的研究

行列式在西方萌芽後，在數學家們辛勤地澆灌、耕耘下，歷經了100多年，終於成熟。為行列式發展做出的數學家很多，〈西方行列式的發展〉系列文章只挑選了其中幾位作簡要的介紹，其他未寫到的數學家如拉格朗日 (Joseph Lagrange, 1736-1813)、拉普拉斯 (Pierre-Simon marquis de Laplace, 1749-1827)、比內 (Jacques Philippe Marie Binet, 1786-1856)、雅可比 (Carl Gustav Jacob Jacobi, 1804-1851)、凱萊 (Arthur Cayley, 1821-1895)、西爾維斯特 (James Joseph Sylvester, 1814-1897)……等等，都對20世紀之前的行列式發展，做出了不可抹滅的貢獻。

從歷史的發展，我們很清楚地看到，西方的行列式發展是從一次方程組求解開始的，數學家們發現用係數來表示方程組的解時，是有規律可循的。為了表示這規律，數學家們提出了不同的方式。

以三元一次方程組 \(\left\{ \begin{array}{l} {a_{1}}x + {b_{1}}y + {c_{1}}z = {d_{1}}\\ {a_{2}}x + {b_{2}}y + {c_{2}}z = {d_{2}}\\ {a_{3}}x + {b_{3}}y + {c_{3}}z = {d_{3}} \end{array} \right.\)為例，克拉瑪利用 \(a_ib_jc_k\) 下標的排列與逆序數來表示其規律（參閱本網站〈克拉瑪公式(2)：克拉瑪的公式〉一文）；貝祖將 \(abc\) 與 \(-bac\) 的 \(c\) 不斷地往前移動一個位置，並每移動一個位置就要改變一次性質符號（參閱本網站〈西方行列式的發展：貝祖的研究〉一文）；范德蒙與柯西則以其獨特的方式來定義行列式（參閱本網站〈西方行列式的發展：范德蒙的研究〉與〈西方行列式的發展：柯西的研究〉）。

就在追尋規律表達式的過程中，行列式的概念、符號，慢慢地成為今日的模樣。

然而，在今日的高中課堂中，行列式以抽象符號及展開式呈現在學生面前，略去了歷史發展脈絡，也難以激起學生的學習動機。比方說，對於二階行列式 \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right|\) 的性質推演，學生常常感到不耐，總覺得直接乘開，\(ad-bc\)，一切清清楚楚，何必大費周章。

又例如大多數學生初接觸到三階行列式及其展開式

\(\begin{array}{ll}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{1}}}&{{a_{2}}}&{{a_{3}}}\\ {{b_{1}}}&{{b_{2}}}&{{b_{3}}}\\ {{c_{1}}}&{{c_{2}}}&{{c_{3}}} \end{array}} \right| &=\cdots\cdots \\&= {a_{1}}{b_{2}}{c_{3}} + {a_{2}}{b_{3}}{c_{1}} + {a_{3}}{b_{1}}{c_{2}} – {a_{3}}{b_{2}}{c_{1}} – {a_{2}}{b_{1}}{c_{3}} – {a_{1}}{b_{3}}{c_{2}}\end{array}\)

時，其表情是狐疑的，甚至是嫌惡的，彷彿在告訴老師說：「為什麼要規定這麼奇怪的運算規則？」歷史的發展是從上述等式的最右邊發展到最左邊的，先有了行列式展開後的式子，過了100多年後，才有今日行列式的符號。

然而，今日教材的呈現，常常是反其道而行的，從等號的最左邊走到等號的最右邊。這方向一反，不但抹去了人類100多年來的心血成果，更嚴重的是扼殺了學生對行列式的好奇心。行列式對學生來說，只是一種規定的計算法則，背下來就對了！然而，諷刺的是，最值得記的，總是不在學生腦海中。筆者最喜歡玩的把戲之一，就是給一個四階行列式（不在高中課程之內）要學生展開，大多數的學生會毫不遲疑地將記得的三階行列式展開法，即圖一與圖二的方法，套用在四階行列式上，然後得到只有8項的展開式，而且完全不會感覺到有任何不妥的地方！（應該要有24項）

圖一與圖二代表的是三階行列式的一種記憶法或速算法，在時間有限的紙筆測驗中，常常是最有效率的解題手段，這也是它們最大的優點。但若撇開計算速度，它們相較於克拉瑪或貝祖的方法，不僅無趣，更不能推廣到高階的行列式。倘若能在課堂中引入克拉瑪或貝祖的方法，甚至是范德蒙或柯西的方式，不僅能開拓學生的眼界，更能降低行列式符號的神祕感，幫助學生掌握行列式的概念與符號。

行列式從解聯立方程組而來，逐漸變成一個獨立的數學概念與符號，然後再應用到不同的領域之中，例如幾何、向量、矩陣，最後再被納入線性代數的架構之中。筆者這系列文章只概略地描繪了前段的發展歷史，至於後來應用的精彩篇章，就留待以後有機會再作介紹了。