自然指數與科學記號

自然指數與科學記號 (Natural Exponents and Scientific Notations)
國立中央大學數學系單維彰副教授

我們知道乘法是簡化同一數連加若干次的記錄方式，例如 $$2+2+2+2=2\times{4}$$ 而在同一數連乘時，我們也有簡化的記錄方式，稱為次方。例如二連乘五次 $${2}\times{2}\times{2}\times{2}\times{2}$$ 可以記錄成 $${2^5}$$，讀作二的五次方；其中寫在底下的 $$2$$ 稱為底數，寫在右上角的 $$5$$ 稱為指數。

$$10$$ 的次方在十進制數字中有特殊的形式：$${10^2=100}$$、$${10^3=1000}$$、$${10^4=10000}$$、$${10^5=100000}$$────$${10^n}$$ 就代表了 $$1$$ 後面有 $${n}$$ 個 $$0$$。此後我們都令 $${n}$$ 表示一個自然數。

我們特別規定 $${10^0=1}$$，而 $${10^{-1}=0.1}$$、$${10^{-2}=0.01}$$、$${10^{-3}=0.001}$$────$${10^{-n}}$$ 就代表小數點下第 $${n}$$ 位是 $$1$$ 其他全是 $$0$$ 的小數。可見，當 $${k}$$ 是一個整數，$${10^k}$$ 表示十進制數字上的一「位」，例如 $${k=0}$$ 是個位，$${k=2}$$ 是百位，$${k=3}$$ 是千分位。

我們可以利用 $$10$$ 的整數次方特點，簡記非常大或非常小的數。例如：光的速度大略是每 $$300,000,000$$ 公尺，可寫做 $${3\times10^8}$$ m/sec；質子的直徑大約是 $$0.8414$$ 費米，也就是大約 $${8.414\times{10}^{-16}}$$ m。將一個非零的數寫成

$$a\times 10^k$$，其中 $$1\le |a|<10$$，$$k\in\mathbb{Z}$$

的形式，稱為科學記號。注意，任何非零的數都有唯一的科學記號表示法，而我們規定 $$0$$ 的科學記號就是 $$0$$。

當一個實數 $${x}\neq{0}$$ 寫成了科學記號形式 $${x}\neq{0}$$ 寫成了科學記號形式 $${x}={a\times 10^k}$$，則指數 $${k}$$ 表示 $${x}$$ 的「尺度」，也就是它大約有多大（或多小）。而如果 $${a}$$ 在小數點下有 $${p}$$ 位數，我們說 $${a}$$ 有 $${p+1}$$ 位有效數字。

例如 $$8.414$$ 有四位有效數字。當我們以 $${p+1}$$ 位有效數字的科學記號表示 $${x}$$ 的估計值時，在 $${a}$$ 的小數點下第 $${p+1}$$ 位做四捨五入。例如以兩位有效數字的科學記號表示質子直徑時，就是 $${8.4\times10^{-16}}$$ m。以一位有效數字的科學記號表示 $${2^{32}}$$ 就是 $${4\times 10^9}$$，記作 $$2^{32}\approx{4\times 10^9}$$。

一般而言，任一個實數 $$a$$ 自己連乘 $$n$$ 次，用次方形式表示如下：

當 $${n=1}$$ 時並不會改變 $${a}$$ 值，因此 $${a^1}$$ 通常簡寫為 $${a}$$，$${a^2}$$ 是 $${a}$$ 的二次方則常稱作 $${a}$$ 的平方，而 $${a^3}$$ 是 $${a}$$ 的三次方，又常稱為 $${a}$$ 的立方。

指數是自然數的次方具有具體的意義：連乘。在此意義之下，很容易理解次方計算的幾個規律，稱為（自然指數的）指數律，列舉如下。

指數加法律

當我們遇到底數相同的指數相乘時，例如 $${10^3\times10^8}$$，其計算過程如下：

$$\begin{array}{ll}{10^3\times10^8}&=({10}\times{10}\times{10})\times({10}\times{10}\times{10}\times{10}\times{10}\times{10}\times{10}\times{10})\\&=10000000000=10^{11}\end{array}$$

是不是又長又繁雜呢？但透過上面的操作，我們發現其結果就等於相乘兩數的指數相加。因此計算上我們可以輕易地寫為：$${10^3\times 10^8}=10^{(3+8)}=10^{11}$$，且這對於所有底數為實數 $${a}$$、指數為自然數的情況都適用，用數學符號表示為

$${a}^n\times{a}^m={a}^{n+m}$$，$${a}\in\mathbb{R},{n},{m}\in\mathbb{N}$$。

指數乘法律

如果我們對指數再作次方呢？以 $$(10^3)^4$$ 為例，首先先將之化為乘法的模式：

$$\begin{array}{ll}(10^3)^4&=10^3\times10^3\times10^3\times10^3\\&=10^{(3+3+3+3)}=10^{12}\end{array}$$（指數加法律）

由這段操作我們得知，$$(10^3)^4$$ 相當於 $$10^{4\times3}=10^{12}$$，這樣的操作亦適用於所有的正整數指數，用數學符號寫成

$$({a}^{n})^{m}={a}^{{n}\times{m}}$$，$${a}\in\mathbb{R},{n},{m}\in\mathbb{N}$$。

指數分配律

當我們兩數相乘在做次方時，也有一個運算性質可供我們使用。以 $${5\times2}^3$$ 為例，其計算過程為 $${(5\times2)}^3=(10)^3=1000$$，在這範例中先乘再次方的計算過程十分簡單。但若是 $${(2\times7)}^3$$ 呢？我們可以應用乘法的結合律和交換律得到

$$\begin{array}{ll}{(2\times7)}^3&={(2\times7)(2\times7)(2\times7)}\\&={{2}\times{2}\times{2}\times{7}\times{7}\times{7}}\\&={2^3}\times{7^3}={8}\times{343}=2744\end{array}$$

，不但過程較為簡單，也讓我們發現了指數分配律：

$$({a}\times{b})^m={a}^{m}\times{b}^{m}$$，$${a,b}\in\mathbb{R}, {m}\in\mathbb{N}$$。