圓錐截痕兩坐標長度的幾何關係（Geometric Relation of the Two Coordinates in Conic Sections）

圓錐截痕兩坐標長度的幾何關係（Geometric Relation of the Two Coordinates in Conic Sections）
國立臺灣大學數學系曹亮吉教授

現在學圓錐曲線大多是用坐標的方法。古希臘則不然，他們從圓錐截痕的觀點入手，兩坐標之間的關係是立體幾何的結果。圓錐截痕的圓錐可以是一般的，不必限於直圓錐，與圓錐相截之平面的相截角度可以是任意的。但最初的研究是從直圓錐及垂直相截角度入手，這樣所需幾何操作相對簡單多了。

先考慮拋物線的情形。

如圖一，直圓錐頂角 $$\angle AQD$$ 為直角，$$QA$$、$$QD$$ 為母線。

$$A$$ 為截面與圓錐母線的垂直接觸點，$$AE$$ 為截痕的對稱軸，

它與母線 $$QA$$ 垂直，與母線 $$QD$$ 平行。$$QE$$ 為圓錐的軸線。

設 $$P$$ 為截痕上的一點，過 $$P$$ 而垂直於軸線 $$QE$$ 的平面，交圓錐於一圓（虛線所示），

而此圓與母線 $$QA$$、$$QD$$ 交於 $$B$$、$$C$$。

此圓含截痕的另一點 $$P’$$，而 $$PP’$$ 為 $$AE$$ 垂直平分於一點 $$M$$，因此也為 $$BC$$ 垂直平分於 $$M$$。

圖中所有的實線都在 $$\triangle QAD$$ 所在的平面上。

在此平面上作 $$DL\bot AD$$、$$CG\bot BC$$，分別交 $$AE$$ 於 $$L$$、$$G$$。

圖中任兩直線的（非鈍角）交角不是 $$45^\circ$$ 就是 $$90^\circ$$。

如果以 $$A$$ 為原點，$$AE$$ 為正 $$x$$ 軸，

則 $$AM$$ 為 $$M$$ 點的（也是 $$P$$ 點的）$$x$$ 坐標長，$$PM$$ 為 $$P$$ 點的 $$y$$ 坐標長。

因為 $$PM^2=BM\times CM$$

$$=GM\times AM$$（$$A$$、$$B$$、$$C$$、$$G$$ 共圓）

$$=AL\times AM$$（$$LG=CD=AM$$，因此 $$GM=AL$$），

所以換成坐標，就得 $$y^2=2px$$，其中 $$2p=AL=2AE$$ 為定長，與 $$P$$ 點無關，稱為此拋物線的標尺(parameter）。其實 $$2p$$ 就是拋物線過焦點 $$(\frac{p}{2},0)$$，而垂直於對稱軸的弦長，稱為正焦弦（長）。

橢圓的情形稍微複雜，但證明的方向類似。
如圖二，$$\angle AQD$$ 為銳角，所以 $$AE$$ 不與 $$QD$$ 平行，這是比較複雜的原因。假設 $$AE$$ 交 $$QD$$ 於 $$A’$$

$$PM^2=BM\times CM=GM\times AM$$

$$=\displaystyle\frac{MC}{AD} \times {AL}\times{AM}$$（$$\triangle GMC$$ 與 $$\triangle LAD$$ 相似）

$$=\displaystyle\frac{A’M}{AA’}\times{AL}\times{AM}$$（$$\triangle A’MC$$ 與 $$\triangle A’AD$$相似）

$$=\displaystyle\frac{AL}{AA’}\times{AM}\times{A’M}$$

$$AA’$$ 是橢圓的長軸，$$2p=AL=2AE$$ 是標尺，兩者都與 $$P$$ 點無關。

令 $$AA’=2a$$，$$b=\sqrt{ap}$$，則上式變成 $$y^2={\frac{b^2}{a^2}}{(2a-x)}$$，可整理成 $$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

這就是以頂點 $$A$$ 為原點，$$AA’$$ 為正 $${x}$$ 軸時，橢圓的方程式，見圖三。$$2p$$ 是正焦弦的長度。

$$\angle Q$$ 為鈍角時，雙曲線的關係式完成相同，只是 $$AE$$ 與 $$QD$$ 相交於相反的方向，如圖四。

無論是橢圓或雙曲線，如果 $$\angle Q$$ 往直角變動，$$\displaystyle\frac{A’M}{AA’}$$就會趨近於 $$1$$。所以

$$\displaystyle PM^2=\frac{AL}{AA’}\times{AM}\times{A’M}$$

也可適用於拋物線：拋物線時，$$A’$$ 可視為無窮遠點，而 $$\displaystyle\frac{A’M}{AA’}=1$$。

從這個觀點，這三類曲線同屬一族。