大圓是球上的捷徑（Great Circles）

大圓是球上的捷徑（Great Circles）
國立臺灣大學數學系曹亮吉教授/國立臺灣大學數學系曹亮吉教授責任編輯

地理課本說大圓是地球上的捷徑，這在了解地球上的幾何是很重要的。只具有高中數學的程度，有辦法證明這個事實嗎？

若 $$K$$、$$L$$ 為地球上兩點，假設在地球上聯結 $$K$$、$$L$$ 兩點的某一曲線，是這兩點之間的捷徑，我們可以做個合理的假設：這曲線會落在某一個平面上。有此假設，就可以證明此曲線是此平面與球面相交之大圓的一部分。

上述的平面與球面交成一個圓，如果它不是個大圓，那麼就是個小圓。我們可以重新定義地軸，使得這個小圓是個緯線圈，其緯度設為 $$\phi$$。如果大圓上的 $$KL$$ 弧在球心 $$O$$ 的張角為 $$\alpha$$，而小圓上的 $$KL$$ 弧在小圓圓心 $$M$$ 所張的角為 $$\beta$$，如圖一所示。則弦 $$KL$$ 做為等腰三角形 $$\triangle KOL$$ 及 $$\triangle KML$$ 的底邊，其長度要為（設球半徑為 $${r}$$）

$$\begin{array}{ll}KL&=\displaystyle 2OK\sin{\frac{\alpha}{2}}=2{r}\sin{\frac{\alpha}{2}}\\&=\displaystyle 2{MK}{\sin}{\frac{\beta}{2}}=2r\cos{\phi}\sin\frac{\beta}{2}\end{array}$$

所以得 $$(1)$$ 式 $$\displaystyle\sin\frac{\alpha}{2}=\cos{\phi}\sin\frac{\beta}{2}$$，而有 $$\alpha < \beta$$ 。

然而在大圓上的 $$KL$$ 圓弧，其長為 $$r\alpha$$，而在小圓上的 $$KL$$ 圓弧，其長為 $${r}\cos{\phi}\beta$$。這樣就得到我們想證明的。$$(2)$$ 式之成立是與 $$(2)$$ 式除以 $$(1)$$ 式而得之 $$(3)$$ 式 $$\frac{\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}<\frac{\frac{\beta}{2}}{\sin\frac{\beta}{2}}$$ 能成立是相當的。而 $$(3)$$ 是對的，因為如圖二，$$\displaystyle\frac{\frac{\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}=AB$$ 弧與 $$AB$$ 弦之比，而此比大於 $$1$$（弧大於弦），且隨著 $$\theta$$ 變小趨近於 $$0$$，此比會變小而趨近於 $$1$$，所以當 $$\alpha/2 < \beta/2$$ 時，$$(3)$$ 式是對的。

為了確定遠洋航海不走冤枉路，需要一種地圖，上面的直線正是兩點間的最短距離（大圓）。

這種地圖稱為麥卡托投影圖，是十六世紀地圖製作家麥卡托發明的。若 $$(\theta,\phi)$$ 表地球（設半徑為 $$1$$）上經度為 $${\theta}$$、緯度為 $$\phi$$ 的那一點，則這種投影法把 $$(\theta,\phi)$$對應到地圖上的點 $$({x},{y})$$，$${x=\theta}$$，$$y=\int_0^{\theta}\sec\theta {d\theta}$$。大學的微積分會把 $${y}$$ 的積分導成 $$y=\ln(\sec\theta+\tan\theta)$$，但是通常不會說明它和麥卡托地圖有什麼關係。

一般人手邊不會有麥卡托地圖，但是如果你有一個地球儀及一條皮尺，你就可以決定兩點之間的大圓。方法是這樣的：把皮尺壓在這兩點之上，調整皮尺，使得皮尺平壓在地球儀上，而無翹起來的地方，則皮尺所壓的地方就是經過這兩點的大圓。你可以試試台北與洛杉磯這兩地點，它會讓你有驚奇的大發現。