冰淇淋筒定理（Ice Cream Cone Theorem）

冰淇淋筒定理（Ice Cream Cone Theorem）
國立臺灣大學數學系曹亮吉教授/國立臺灣大學數學系曹亮吉教授責任編輯

古希臘人研究圓錐截痕，得到很多幾何性質，包括兩（斜）坐標長度之間的關係，點焦距與點準距成正比，切線性質，以及有心截痕兩點焦距之和（或差）為定長等。不過導出的過程非常複雜，很難讓人感受到結果之必然。再者，現代人學圓錐曲線用的是坐標方法，更難領會這些幾何性質的美妙。十九世紀初，兩位比利時數學家，提出冰淇淋筒定理，說明點焦距與點準距成正比，以及有心截痕兩點焦距之和（或差）為定長的性質，也不過是截痕很自然的幾何結果。

假設在以 $${Q}$$ 為頂點的直圓錐（冰淇淋筒）內，擺進一圓球（冰淇淋），則圓錐與圓球相切於一圓 $${O}$$。假設有一平面 $${\pi}’$$（餅乾），與圓球相切於 $${F}$$，且與圓 $${O}$$ 所在的平面 $$\pi$$，相交於一直線 $${d}$$。我們要證明： $${F}$$ 與 $${d}$$ 為平面 $${\pi}’$$ 與圓錐相截所得截痕之焦點與準線。

假設 $$P$$ 為截痕上一點，連線 $$PQ$$ 交圓 $$O$$ 於 $$E$$。

設平面 $$\pi’$$ 與 $$\pi$$ 的交角為 $$\alpha$$，圓錐的母線（如 $$PQ$$）與平面 $$\pi$$ 的交角為 $$\beta$$。

設 $$P$$ 到平面 $$\pi$$ 的垂足為 $$H$$，$$H$$ 到直線 $$d$$ 的垂足為 $$R$$，

則 $$PR$$ 為 $$P$$ 到 $$d$$ 的垂線（三垂線定理），而 $$\angle PRH=\alpha$$。

則 $$PE=PF$$，因為兩者同為圓球之切線。如此則

$$PR\sin\alpha = PH = PE\sin\beta =PF\sin\beta$$

亦即，$$\displaystyle\frac{PF}{PR}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\epsilon$$，

這就是點焦距與點準距有定比的性質，而 $$F$$ 與 $$d$$ 自然是焦點與準線。

$$\alpha =\beta$$ 時 $$(\epsilon=1)$$，平面 $$\pi’$$ 與一母線平行，截痕為拋物線。

$$\alpha<\beta$$ 時 $$(1<\epsilon)$$，平面 $$\pi’$$ 會與所有母線相交，截痕為橢圓。

$$\alpha>\beta$$ 時 $$(\epsilon >1)$$，平面 $$\pi’$$ 較陡，會交到圓錐的另一支，截痕為雙曲線。

截痕為橢圓時（圖三），在圓錐內，平面 $$\pi’$$ 之上，可再擺進一適當大小的圓球，使之與平面 $$\pi’$$ 相切於一點 $$F$$，並與圓錐相切於一圓 $$O’$$。假設 $$PQ$$ 交 $$O’$$ 於 $$E’$$，則 $$PE’=PF’$$，因為兩者都是這個圓球的切線。於是 $$PF+PF’=PE+PE’=EE’$$ 為定長，與 $$P$$ 點無關。這就證明了橢圓的兩點焦距之和為定長。

雙曲線時，圓球要擺在平面 $$\pi’$$ 與圓錐的另一支之間，就可以證明兩點焦距之差為定長。