Fubini 原理

Fubini 原理
國立高雄大學應用數學系游森棚副教授/國立高雄大學應用數學系游森棚副教授責任編輯

Fubini 原理
觀察以下的矩陣：

\(\displaystyle\left[\begin{array}{cccccc}1&6&0&4&1&1\\2&0&1&5&0&2\\0&0&7&0&3&3\\2&4&1&2&0&0\end{array}\right]\)

請問所有數字和一共多少？我們可以有系統一點，先求每一橫列的和，得到 \(13, 10, 13, 9\)，再把這四個和相加得到 \(13 +10 +13 +9 = 45\)。或者，先求每一直行的和，得到 \(5, 10, 9, 11, 4, 6\)，相加得到 \(5+10+9+11+4+6 = 45\)。換句話說，

\(\displaystyle\sum^4_{i=1}\sum^6_{j=1}{a_{ij}}=\sum^6_{j=1}\sum^4_{i=1}{a_{ij}}\)

以上的想法是非常容易的，但這就是 Fubini 原理。

熟悉微積分的讀者應該可以馬上觸發，這恰恰就是下述微積分中的 Fubini 原理的離散形式：若 \(f{(x,y)}\) 在長方形區域 \({R}:{a}\leq{x}\leq{b}\),\({c}\leq{y}\leq{d}\) 中連續，則

\(\displaystyle \int^{d}_{c}\int^{b}_{a} f(x,y) dx dy=\int^{b}_{a}\int^{d}_{c} f(x,y) dx dy\)

離散的好處就是可以不要管收斂發散的問題，基本上就是用兩個角度去算同一個結果， 因此“Fubini原理”又稱為“算兩次原理”。更抽象一點說，Fubini 定理的敘述就是：

用兩個方法算同一個量，結果會一樣.

這個貌似無用的敘述看起來非常荒謬──但是它的確是非常有用的原理。底下舉幾個例子說明：

無言的證明

高中數學歸納法一定會有一題例題: 證明

\(1+3+5+\mbox{…}+(2n+1)=n^2\)

我們現在用兩個方法來算下列 \( n\times n\) 點陣的點數。第一個方法，當然一共有 \({n}\times{n}={n^2}\) 個點。第二個方法，從左上角慢慢挖掉愈來愈大的正方形，得到 \(1+3+5+\mbox{…}+(2n+1)\)

因此由 Fubini 原理，原式得證。

附帶一提，我個人一直覺得，除了數學歸納法以外，這個證明也應該要教給學生──數學歸納法牽涉到形式操作和邏輯論證，而 Fubini 定理的證明牽涉到美感以及直覺。這是數學的兩個不同面向，不可偏廢。而能讓學生體會美感和直覺的例題很少，這正是一個好機會。

同樣一個正方形，也可證明另一個高中數學的習題:

\(1+2+3+\mbox{…}+(n-1)+n+(n-1)+\mbox{…}+3+2+1={n^2}\)

我相信讀者應該非常順利可以看出來怎麼數點！

美國數學學會(MAA) 曾經出版了兩本無言的證明(Proofs without Words I,II)，裡面有數以百計的初等數學等式或不等式的證明。其中有一些就用到 Fubini 原理，有些想法相當巧妙。比如，讀者能否挑戰一下用 Fubini 原理證明 \(1^3+2^3+\mbox{…}+n^3=(\frac{n(n+1)}{2})^2\)？

握手定理

離散數學中，一個圖是指在一些頂點間連有一些邊所成的圖形，比如正方形再畫一條對角線，就是一個四個頂點，五條邊的圖。我們稱這個圖的四個頂點的度(degree, 指連出去的邊數) 分別是 \(2, 3, 2, 3\)

圖的基本元素是「點」和「邊」， 所以常常可以運用 Fubini 原理。任給一個圖，所有頂點的 degree 總和可以有什麼結論？我們從另一個角度(Fubini原理！) 算 degree：觀察到任一條邊連接了兩個頂點，這條邊分別對這兩個頂點各貢獻了 degree \(1\)。所以，一條邊貢獻了 degree \(2\)。我們馬上得到圖論(graph theory) 的第一個定理：任意圖 \(G\) 中，

\(\displaystyle\sum_{\nu\in{G}}deg(\nu)\) 是 \(2\) 的倍數，

即 degree 的總和必為偶數。

這個定理又叫做握手定理(Handshake theorem)： 一群人見面互相握手，則把每個人握手的次數相加，結果一定是偶數。比如若有一群人參加舞會，兩兩跳舞，會後統計每個人跳舞的次數分別是 \(2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 10\)，則可以斷定中間一定有人記錯了。

正多面體

最後我們來談高中數學中另一個美麗(卻一直被忽略) 的主題：正多面體。比如正方體正四面體等等都是正多面體。有幾個正多面體呢？課本說 \(5\) 個。但是這怎麼導出來的呢？首先要用到多面體著名的 Euler 公式：任何一個凸多面體(不一定要正多面體)，都有

\(\nu-e+f =2\)

\(\text{點數}-\text{邊數}+\text{面數}=2\)

此外，Fubini 定理扮演了重要角色。底下我們來導出五個。

設多面體有點線面各有 \(\nu\),\({e}\),\({f}\) 個。且每面是 \({m}\) 邊形，每個頂點 degree 為 \({n}\)。則一共多少邊？ 有兩個方向可以考慮：

1. 共有 \({f}\) 面，每面是 \({m}\) 邊形，所以一共 \(\displaystyle\frac{fm}{2}\) 邊
2. 共有 \({v}\) 點，每點 degree 是 \({n}\)，所以一共 \(\displaystyle\frac{vn}{2}\) 邊

所以由 Fubini 原理，

\(\displaystyle e=\frac{fm}{2}=\frac{vn}{2}\)

因此 \(\displaystyle f=\frac{2e}{m},~v=\frac{2e}{n}\) 帶回去 Euler 公式得到 \(\displaystyle\frac{2e}{n}-{e}+\frac{2e}{m}=2\)，即

\(\displaystyle\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{e}\),

即 \(\displaystyle\frac{1}{m}+\frac{1}{n}>\frac{1}{2}\)。這個式子可化為

\((m-2)(n-2)<4\)

但是本來\(m\geq{3},~n\geq{3}\)(否則根本拼不成立體)，所以上式表示兩個自然數乘積\(< 4\)。所以只能是 \(1, 2, 3\)。因此只有五個可能

\((m-2, n-2) = (1, 1), (2, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 1)\)

即

\((m, n) = (3, 3), (4, 3), (3, 4), (3, 5), (5, 3)\)

我們算出來正多面體只能有五個! 真正去拼拼看是拼的出來的，比如 \((3, 5)\) 表示每個面是正三角形，每個頂點 degree 是 \(5\)──這是正二十面體。因此我附帶一提，上述的解也順便得到了這五個正多面體間有些是互相對偶的(邊數和點數互換)，由此可以引出非常深刻的幾何學，不過我們在此打住。

要用 Fubini 原理處理的組合問題，通常都已經超過一般高中排列組合教學的深度。但誠如第一節給的例子，善用 Fubini 原理可以清楚解釋一些等式的來源，是有實際上教學的意義的。