星球的距離（Distances of Heavenly Bodies）

星球的距離（Distances of Heavenly Bodies）
國立臺灣大學數學系曹亮吉教授/國立臺灣大學數學系曹亮吉教授責任編輯

提到古典數學在天文方面的應用，就想到平面三角學、球面三角學、對數、內差法等，但會忘掉平面幾何學。其實在量測星球距離方面，古希臘人還真的讓平面幾何學變成為主要的工具。

我們知道日蝕有全蝕也有環蝕，所以平均起來，月亮的遠近剛好可以擋住整個太陽，如圖一所示。圓 $$M$$、圓 $$S$$ 各代表月亮與太陽，兩圓的公切線交於地球上的一觀測點 $$E$$。$$m$$、$$s$$ 各代表兩圓的半徑，$$x=ES$$、$$y=EM$$ 則分別為地球到太陽與月亮的距離。由相似形的關係，我們有 $$x:y=s:m$$，亦即距離比等於半徑比。

此關係也可寫成為

$$\displaystyle\frac{s}{x}=\frac{m}{y}\approx\angle{E}=\frac{1}{4}^\circ=\frac{1}{229}$$

（月亮與太陽的視角約為 $$\frac{1}{2}$$ 度；最後一等式是用弧度計算的）。

再看月半時，地球、月亮、太陽三者的關係如圖二所示：$$\angle SME$$ 為直角，而測量 $$\angle MES$$ 時發現它很接近於直角，於是得到地日距 $${x}$$ 遠大於地月距 $${y}$$ 的結論。

場景轉成月蝕的時候。觀測某次的月蝕，如圖三，地球的影子在月亮的地方形成一個圓 $$F$$，它蓋掉月亮圓 $$M$$ 的一部分。我們看得到圓 $$F$$ 的部分圓弧 $$AB$$，由此可決定半徑 $$AF$$ 的大小；我們也看得到圓 $$M$$ 的部分圓弧 $$AB$$，由此也可決定半徑 $$AM$$ 的大小。假定地球影子圓 $$F$$ 的半徑為 $${f}$$，則由相似的關係，得 $$\displaystyle\frac{f}{m}=\frac{AF}{AM}$$，令其比值為 $${z}$$。

把太陽、地球及地影的半徑 $${s}$$、$${e}$$、$${f}$$，按照距離平行排列，就得圖四。夾在中間的 $${e}$$，是兩端 $${s}$$、$${f}$$ 的加權平均，權數就是距離 $${x}$$ 及 $${y}$$，所以

$$\displaystyle e=\frac{ys+xf}{x+y}$$；

但 $$ys=xm$$，$$f=zm$$，

所以 $$\displaystyle e=\frac{xm+xzm}{x+y}=\frac{x(1+z)m}{x+y}$$。

因為 $${x}$$ 比 $${y}$$ 大得多，$$\displaystyle\frac{x}{x+y}$$ 幾乎等於 $$1$$，所以

$$e \approx(1+z)m$$，或者 $$m=\frac{e}{1+z}$$

因此 $$\displaystyle y=229m=229\frac{e}{1+z}$$

希臘天文學家測得 $$z=2.8$$，就得 $${m}$$ 約為 $${e}$$ 的四分之一，而 $${y}$$ 約為 $${e}$$ 的 $$60$$ 倍。另外地球半徑 $${e}$$ 可用簡單的平面幾何測得，這是大家熟知的事。

太陽外的恆星，只要不是太遠，也可用平面幾何來測量其距離。從地球上同一點，但相隔半年時間，各測一次某恆星 $$S$$ 的視線方位。則因兩時地 $$E_1$$、$$E_2$$ 相差了兩個天文單位（地日距離為一天文單位），對 $$S$$ 的視線方位會有變化，此恆星 $$S$$ 在 $$E_1$$、$$E_2$$ 的張角 $$\angle S$$ 就測得出來，因此就可算得 $$S$$ 的距離。（行星在半年內會大幅移動，這個方法就不管用。）

如圖五，

從 $$E_1$$、$$E_2$$ 兩時點各自對準 $$S$$ 後面很遠的某恆星 $$S_0$$，

則視線 $$E_1F_1$$、$$E_2F_2$$ 可假設互相平行，

因此 $$\angle S$$ 就是 $$\theta_1\theta_2$$。

因為 $$S$$ 是相對的遠，因此 $$E_1S$$ 與 $$E_2S$$ 幾乎就相等，$$E_1SE_2$$ 就可視為以 $$S$$ 為圓心、$$SE_1$$ 為半徑的扇形，所以 $$SE_1=\displaystyle\frac{E_1E_2}{\angle{S}}$$（$$\angle S$$ 以弧度計算）。

用這種視差法測恆星距離其極限為 $$100$$ 光年。（超過了，則 $$\angle S$$ 太小而無法測得到相對的準確性。）