無理數(irrational number)

無理數(irrational number)
台北市立第一女子高級中學數學科蘇俊鴻老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

在討論有理數系如何擴展到實數系時，我們常說有理數雖然密集，但數線上仍然有許多無法用有理數型態 $$q/p$$ 表示的數（其中 $$p,q\in Z$$ 且 $$p\ne 0$$），這些「不是有理數」的數被稱做「無理數」，有理數連同無理數，才能圓滿地鋪滿整條數線，成為實數系。然而，對於「不是有理數的數」，也就是說，它不能寫成 $$q/p$$。從數學的定義上，當然足夠判斷何謂無理數。但對初學者來說，利用否定所描述的定義，其實並不直觀。也就是說，他無法知道無理數「是」什麼。這篇文章的目的，是嘗試從不同的面向給無理數一個說法。

故事仍然要從有理數（rational number）說起，rational的拉丁語源是logos，就是英文的ratio，原來的意思是「比」。也就是說，能夠寫成兩個整數之比的，就叫做有理數。這個概念源自畢氏學派所信奉「數目（mumber）是所有事物的本質」之論點，他們認為數目（這裡指的是正整數）是所有現象的基礎，例如，行星的運行、音階的規律都可以用數目的比來表示。

進一步地，畢氏學派將幾何與算術關聯起來，所以，任何兩個線段長之比必然是數目之比。換句話說，必定存在一個共同單位長，使得兩者均為這個單位長的整數倍。畢氏學派就稱這兩個線段是「可公度量的」（commensurable）。然而，畢氏學派稍後也發現正方形的邊長與其對角線是「不可公度量的」（incommensurable）。雖然為了保持理論的「完整性」，畢氏學派選擇保守秘密。但影響所及，後來的古希臘數學家無法將「數」與「量」統整起來，只好必須分別看待。譬如在歐幾里得的《幾何原本》中，就可以清楚地看到，其第七冊的命題一：「設有不相等的二數，從大數中連續減去小數直到餘數小於小數，再從小數中連續減去餘數直到小於餘數，這樣一直作下去，若餘數總是量不盡其前一個數，直到最後的餘數為一個單位，則該二數互質。」與第十冊的命題二：「如果從兩不等量的大量中連續減去小量，直到餘量小於小量，再從小量中連續減去餘量直到小於餘量，如此一直作下去，當所餘的量永遠不能量盡它前面的量時，則兩量不可公度。」

這兩個命題都涉及「輾轉相除法」－事實上，此一方法之英文名稱為Euclidean algorithm，只不過其中一個針對「數」的公度問題，另一個則針對「量」。現在，我們要利用第十冊的命題二來說明正方形的邊長（$$a$$）與其對角線 $$(\sqrt{2}a)$$ 為何是「不可公度量的」。

圖一，任意給定一個正方形 $$ABCD$$，我們在對角線 $$\overline{AC}$$ 上取一點 $$F$$，使得 $$\overline{AF}=\overline{AD}$$。
因此 $$\overline{CF}=\overline{AC}-\overline{AF}$$。接著，以 $$F$$ 點為垂足，作 $$\overline{AC}$$ 的垂直線 $$\overline{FE}$$ 交 $$\overline{CD}$$ 於 $$E$$ 點。
考慮 $$\Delta{AFE}$$ 與 $$\Delta{ADE}$$，由於 $$\overline{AE}=\overline{AE}$$，$$\overline{AF}=\overline{AD}$$，$$\angle{ADE}=\angle{AFE}=45^\circ$$，
所以，$$\Delta{AFE}$$ 與 $$\Delta{ADE}$$ 全等（RHS性質）。又 $$\angle{DCA}=45^\circ$$，因此 $$\overline{DE}=\overline{FE}=\overline{CF}$$。
所以 $$\overline{CE}=\overline{CD}-\overline{DE}=\overline{CD}-\overline{CF}$$。

接著，我們考慮正方形 $$CFEG$$。仿上述步驟，在 $$CFEG$$ 中以對角線 $$\overline{CE}$$ 減去邊長 $$\overline{CF}$$ 得 $$\overline{CH}$$。邊長 $$\overline{CG}$$ 減去 $$\overline{CH}$$ 得 $$\overline{CI}$$。再以 $$\overline{CI}$$ 為對角線， $$\overline{CH}$$ 為邊長作出一正方形 $$CHIK$$。重覆這些動作，可以造出一系列的正方形。由於正方形的對角線與邊長不相等，每次相減總是無法減盡。因此，我們可以一直重覆做下去，無法停止。因此，正方形的對角線與邊長不可公度。換句話說，就是不能寫成兩個整數之比。既然能寫成兩個整數之比的，叫做有理數。那麼，無法寫成兩個整數之比，當然就是無理數（irrational number）了。因此，$$\sqrt{2}$$ 是無理數囉。

參考文獻

• 洪萬生，《孔子與數學》，台北：明文書局，1999。
• 蘇惠玉，〈從幾何面向看$$\sqrt{2}$$〉，《HPM通訊》6(12)：6-11。