勞侖茲變換（Lorentz Transformation）

勞侖茲變換（Lorentz Transformation）
國立臺中女子高級中學物理科陳正昇老師/國立彰化師範大學物理學系吳仲卿教授責任編輯

根據狹義相對論，兩個慣性座標系的觀察者可以透過勞侖茲變換轉換他們各自所得到的時間與空間的測量結果。令人感到驚訝的是，不同移動速度的觀察者會得到不同的測量長度、時間間距、甚至是兩事件的先後順序。

1904 年荷蘭物理學家亨德里克-勞侖茲提出了勞侖茲變換，當時最主要的動機是試圖解釋光在以太中傳播所觀察到的一些現象，但是後來事實證明以太是不存在的，愛因斯坦從兩個相對論的基本假設出發，重新推導出勞侖茲變換，並賦於此變換一個嶄新的物理意義。

在古典物理學，兩個慣性座標系的觀察者可以透過所謂的伽利略變換：$$x’=x-vt$$ (沿著 $$x$$ 軸的相對運動)來交換他們的觀測結果，其中 $$v$$ 是兩觀察者在 $$x$$ 軸方向上的相對速度，但是根據狹義相對論，這個變換式只是勞侖茲變換的一個特例，相對速度 $$v$$ 遠遠小於光速時的一個特例。

事實上，並不止在 $$x$$ 軸上的座標值會發生改變，連長度與時間都會發生改變。在狹義相對論中，空間和時間並不相互獨立，而是一個統一的四維時空整體，不同慣性座標系之間的變換關係式與勞侖茲變換在數學表達式上是完全相同的，即：

$$\displaystyle x’=\frac{x-vt}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}$$、$$y’=y$$、$$z’=z$$

$$\displaystyle t’=\frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}$$

其中 $$x$$、$$y$$、$$z$$、$$t$$ 分別是慣性坐標系 $$K$$ 的坐標和時間，$$x’$$、$$y’$$、$$z’$$、$$t’$$ 分別是慣性坐標系 $$K’$$ 的坐標和時間。$$v$$ 是 $$K’$$ 坐標系相對於 $$K$$ 坐標系的運動速度，方向沿 $$+x$$ 軸。

當 $$v$$ 遠遠小於光速時，勞侖茲變換將會變成：

$$x’=x-vt$$、$$y’=y$$、$$z’=z$$、$$t’=t$$

這就是古典物理中的伽利略變換。所以，狹義相對論與古典力學並不是相互排斥的，狹義相對論將古典力學擴展到了在一切運動速度下的普遍情況，古典力學只是相對論在低速時（$$v$$ 遠遠小於 $$c$$）的近似情況。

一般在處理運動速度不太高的物體時（如天體力學中計算行星的運行軌道），不需考慮到相對論效應，因為用相對論進行處理時計算往往變得非常繁瑣，而結果與古典力學所預言的相差不大。但是當處理高速運動的物體時，比如高能加速器中的電子，則必須要考慮相對論效應對結果帶來的修正。

參考資料：
http://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_transformation