從畢氏定理到餘弦定律（From Pythagorean Theorem to Cosine Law）

從畢氏定理到餘弦定律（From Pythagorean Theorem to Cosine Law）
台北市立第一女子高級中學數學科蘇俊鴻老師/國立台灣師範大學數學系洪萬生退休教授責任編輯

在高中課程三角函數的單元中，餘弦定律是個重要的主題。

所謂餘弦定律是給定任意的三角形 $$ABC$$，以 $$a,b,c$$ 表示 $$\angle{A},\angle{B},\angle{C}$$ 所對應的邊長，則

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}$$

當 $$\angle{C}=90^\circ$$時，$$\cos{C}=0$$，因此，

$$c^2=a^2+b^2$$。

教科書的編者就以此下了個結論：「餘弦定律是畢氏定理的推廣，而畢氏定理是餘弦定律的特例。」當然，就代數形式來說，這個結論沒有問題。只不過，老師很難讓學生對於這個結論「有感覺」，從而對餘弦定律有更深刻的體認。

2006年思源科技教育基金會主辨高中教案徵選活動，筆者曾提出有關餘弦定律的教案設計。那個教案的設計是針對餘弦定律教學活動，從引起動機開始，經由特殊化到一般化，觀察猜測出餘弦定律，到最後證明餘弦定律的完整流程。

特別地，筆者為了強調餘弦定律 $$c^2=b^2+b^2-2ab\cos{C}$$ 乃至修正項 $$2ab\cos{C}$$ 的幾何意義，刻意由畢氏定理的歐幾里得證法出發，進而證明餘弦定律。有興趣的讀者，可以到網址www.seed.org.tw下載這份教案投影片。

不過，現行國中課程的幾何證明份量減少，對於畢氏定理的歐式證明也略去不提。因此，對於這個證明進路能否運用在一般學生的教學上，總讓老師們有些擔心。本文的目的，就是想要再嘗試看看，讓這個從畢氏定理到餘弦定律的證明進路，能更符合老師們的需求。

首先，不妨從圖一到圖四看起，這是一個關於畢氏定理的證明。在介紹畢氏定理的各式證明中，它應該是常見的，而且網路上很容易找到能動態呈現的版本。簡單地說，藉由等積變換，我們可以看到正方形 $$ACDE$$ 會與長方形 $$AGJK$$ 面積相等。同理，我們也可知正方形 $$BCHI$$ 會與長方形 $$BFJK$$ 面積相等。因此，我們就證明了畢氏定理 $$c^2=a^2+b^2$$。

事實上，歐幾里得在《幾何原本》卷一命題 $$47$$ 所給出的證明，大致上和上述的這個證明相同。只是，它所利用圖形比較迂迴罷了。參考圖五，正方形  $$ACDE$$ 的面積等於三角形 $$ABE$$ 的兩倍，長方形 $$AGJK$$ 面積等於三角形 $$AGC$$ 的兩倍。而三角形 $$ABE$$ 和三角形 $$AGC$$ 全等（$$SAS$$ 全等，若沒有全等的概念，也可以透過以 $$A$$ 為支點的點的旋轉觀察而得），所以，正方形 $$ACDE$$ 會與長方形 $$AGJK$$ 面積相等。同理，正方形 $$BCHI$$ 會與長方形 $$BFJK$$ 面積相等。因此，透過圖一到圖四的說明，再引導至圖五，相信學生應該可以觀察得到畢氏定理 $$c^2=a^2+b^2$$。

對圖五的直角三角形有「感覺」後，再來，就能進一步詢問：那麼銳角三角形(或鈍角三角形)的三邊長具有什麼關係呢？

以下，用 $$\angle{C}$$ 為銳角的三角形為例說明。首先，將三角形的三邊往外分別做出正方形，仿照圖五的方式，做出三角形的三高，三高會交於一點（垂心）。此時圖形分割情形如圖六。接著，同圖五的情形，不難看到長方形 $$APQE$$ 的面積會等於長方形 $$AKJG$$ 的面積（透過三角形 $$ACG$$ 與三角形 $$AEB$$ 全等）。同理，長方形 $$BISR$$ 的面積會等於長方形 $$BKJF$$ 的面積，長方形 $$CDQP$$ 的面積會等於長方形 $$CHSR$$ 的面積。如此一來，我們就得知正方形 $$ABFG$$ 的面積會小於正方形 $$BIHC$$ 的面積與正方形 $$ACDE$$ 的面積之和。也就是說，$$c^2<a^2+b^2$$。

然而，等式關係是什麼呢？從圖六也容易得知：

正方形 $$ABFG$$ 的面積
$$=$$ 正方形 $$BIHC$$ 的面積 $$+$$ 正方形 $$ACDE$$ 的面積 $$-$$ 長方形 $$CDQP$$ 的面積 $$-$$ 長方形 $$CHSR$$ 的面積

又長方形 $$CDQP$$ 的面積 $$=$$ 長方形 $$CHSR$$ 的面積，因此

正方形 $$ABFG$$ 的面積
$$=$$ 正方形 $$BIHC$$ 的面積 $$+$$ 正方形 $$ACDE$$ 的面積 $$-2\times$$ 長方形 $$CDQP$$ 的面積

而長方形 $$CDQP$$ 的面積 $$=\overline{CD}\times\overline{CP}=\overline{CD}\times\overline{CB}\times\cos{C}=ab\cos{C}$$，

因此，$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}$$

我們就能得到餘弦定律。至於鈍角的情形，不妨當成回家作業，讓同學嘗試看看。透過學生早已熟知畢氏定理的面積和關係，從歐幾里得的證明出發，利用相同的證法方式，我們便能推廣到非直角三角形的情形。所以，對於「餘弦定律是畢氏定理的推廣，而畢氏定理是餘弦定律的特例。」是否開始有不同的感覺了？