三角測量（Trigonometric Measurements）

三角測量（Trigonometric Measurements）
國立蘭陽女子高級中學數學科陳敏晧老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

三角測量法是指在平面上選定三個不共線的點，連成一個三角形，由已知的點觀察各方向的夾角，再測量各邊邊長，其中可以分為平面三角形和空間三角形測量法。其量測方式可利用正弦定理和餘弦定理求解一般三角形，和運用正切函數求解直角三角形。

正弦定理公式：\(a/\sin{A}=b/\sin{B}=c/\sin{C}\)，即「大邊對大角，小邊對小角」的具體數量化，其中 \(A\)、\(B\)、\(C\) 分別代表邊 \(a\)、\(b\)、\(c\) 所對應的三角形的頂角；
餘弦定理公式：\(c^2=a^2+b^2-ab\cos{C}\)，主要應用在各種地形、工程測量中；正切函數則是利用鄰邊與對邊的比例關係解題。

關於測量技術的進展，最重要當是「三角測量法」（triangulation），號為「數學王子」之稱的高斯（Carl Friedrich Gauss,1777-1855）也曾對漢諾威王國進行三角測量，其中的原理是由已知的兩點 \(A\) 和 \(B\)，並且能從點 \(A\) 和點 \(B\) 目視到點 \(C\)，根據量測工具可以確認 \(\angle{CAB}\) 和 \(\angle{CBA}\) 的值，同時容易測出 \(\overline{AB}\) 長，根據正弦定理結果 \(\displaystyle\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\)，不難算出 \(b=\overline{AC}\) 和 \(a=\overline{BC}\) 的長，這種方法常用於軍事測量，稱為「交叉法」。

實際上的應用如圖一所示，例如：今欲測量德國地圖上的 Wangeroog 城市與 Varel 城市的距離與方位？如果望遠鏡的最大測據值為 \(12\) 公里，今 Wangeroog 城市與 Varel 城市的距離大於 \(12\) 公里，先利用三角測量法與正弦定理，得 Jever 城市在 Wangeroog 城市南 \(10^\circ\) 東 \(10\) 公里處，再測得 Varel 城市在 Jever 城市東 \(20^\circ\) 南 \(10\) 公里處，利用餘弦定理得 Wangeroog 城市與 Varel 城市的距離為 \(\sqrt{10^2+10^2-2\times{10}\times{10}\times{\cos120^\circ}}=\sqrt[10]{3}\) 公里，所以，確認 Varel 城市在 Wangeroog 城市南 \(40^\circ\) 東 \(\sqrt[10]{3}\) 公里處。

圖片來源： http://blog.roodo.com/absolutereading/archives/2007-03.html。

關於三角測量圖形，還可以參考日本十九世紀時明治維新時期的《測量集成》，此書屬於私塾用書，而且書中有很多珍貴的測量圖形，如下圖二、三、四、五所示，可見三角測量法對於日本數學教育養成的重要性。²

^{註：2 福田理軒（大矢真一解說），《測量集成》(東京：恆和出版社，1982)，頁153-167。}

三角測量是三角函數的實際應用之一，由圖一與圖五所示，不論平面上兩點的距離如何遙遠，只要善加引入輔助點，即可將圖形分割成許多的小三角形，再利用正弦定理與餘弦定理，那麼測量遙遠兩點的距離邊可以迎刃而解了。

參考資料：

1. 福田理軒（大矢真一解說），《測量集成》(東京：恆和出版社，1982)。