不一樣的組合數介紹

不一樣的組合數介紹(A different Introduction to Combinatorial Numbers)
臺北市立第一女子高級中學數學科蘇俊鴻老師/國立臺灣師範大學數學系退休教授洪萬生責任編輯

在現行教材的安排上，我們不難看出教科書編者對組合數的引進，以及教學策略的運用，都是透過排列數，從而由排列數 $${P}^n_m$$ 推導出組合數 $${C}^n_m$$ 的公式。這樣的學習順序安排有其便利性，但並非介紹組合數的唯一途徑。

清代的算學家汪萊(1768-1831)在其著作《衡齋算學》第四冊的〈遞兼數理〉中，透過物件選取配對的觀察，找尋規律性，進而利用堆垛求和的方法，提出組合數(汪萊稱為遞兼分數)$$\displaystyle{C}^n_m=\frac{{P}^n_m}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}(m\leq{n})$$的一般公式。以下讓我們一起來看看他是如何辦到的。

首先，汪萊先考慮取一物的情形，其方法數恰為物數 $$({C}^n_1=n)$$。

$$C^n_2=1+2+\cdots+(n-1)=\displaystyle \sum^{n-1}_{k=1}k=\frac{n(n-1)}{2}$$

接著，汪萊考慮一次取出相異三物的方法數(即 $$\displaystyle{C}^n_3$$，「三物相兼」)。他由二物相兼開始，如上所述，其配對情形與一平三角堆相對應。再來，汪萊考慮將平三角堆的每一層與第三物配對，即又可得出一平三角堆。接著，將其整合起來，恰與一立三角堆的每一層數目一一對應(如圖二)。

筆者接續圖一的例子，寫出部份配對情形。請注意各層之配對情形，均由圖一的二物相兼情形擴展而得。不過，第九層為 $$ij$$，無法與其他物相兼成三物，必須捨去。所以，立三角堆的層數必須再少一為八。因此，

$$\begin{array}{ll}\displaystyle{C}^{n}_3&=\displaystyle1+(1+2)+(1+2+3)+\mbox{…}+(1+2+3+…..+n)\\&=\displaystyle\sum^{n-2}_{k=1}\frac{k(k+1)}{2!}\\&=\displaystyle\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\end{array}$$

事實上，我們由汪萊的「十物遞兼分數圖解」(見圖三)可以看出，汪萊利用各種三角堆的和求出相對應的組合數 $${C}^n_m$$。如上所述，，十件不同的物件中每次取一物的組合數就是物數，十件不同的物件中每次取二物的組合數等於一個九層 $$(9=10-1)$$ 的平三角堆的總和，十件不同的物件中每次取三物的組合數等於一個八層 $$(8=9-1)$$ 的立三角堆之和。

汪萊類推下去，一次取四件的組合數就等於 $$7$$ 層 $$(7=8-1)$$ 的三乘三角堆之和，一次取 $$5$$ 件的組合數就等於 $$6$$ 層(根數為 $$6=7-1$$ )的四乘三角堆的總和，$$\mbox{……}$$，等等。如此一來，由對應的三角堆之總和就能將各種組合數，$${C}^n_1$$、$${C}^n_1$$、$$\mbox{…}$$、$${C}^n_n$$ 一一求出。利用他在書中所給出的三角堆求積通法，就能得到

$$\begin{array}{ll}\displaystyle{C}^{n}_m&=\displaystyle \sum^{n-m+1}_{k=1}\frac{1}{(m-1)!}k(k+1)(k+2)…(k+m-2)\\&=\displaystyle\frac{n(n-1)(n-2)…(n-m+1)}{m!}\\&=\displaystyle\frac{n!}{m!(n-m)!}\end{array}$$

這與現在的組合數 $${C}^n_m$$ 的公式一致。

汪萊將組合與垛積求和建立起關係，在方法論上是相當獨特的。帶給我們另一種體會組合概念的可能，在實際的教學中也是具體可行的。此外，在級數的教學中，我們或許也可將汪萊的例子，納入課外教材的補充，雖說汪萊所用的三角堆求和是屬於階差級數的範疇，但並不難理解。此外，這對於級數與其他數學領域的結合，也提供一個良好的範例。因此，我們不難發現在豐富教材內容上，古代數學文本可以提供教學上更多的揮灑空間呢。