定容莫耳比熱〈Constant-volume processes molar specific heat〉

定容莫耳比熱〈Constant-volume processes molar specific heat〉
臺中國立新港藝術高級中學物理科羅伊君老師/國立彰化師範大學吳仲卿教授責任編輯

熱學系統的內能為內部各分子的移動動能、轉動動能、振動動能和分子之間的位能總和，但因為單一原子（如：氦）沒有轉動動能，且我們假定的理想氣體分子數目非常多，分子之間的距離甚遠，分子之間的交互作用力可以忽略，因此可忽略分子間位能，所以理想氣體的內能僅為所有分子的移動動能，也就是質心動能，

又一個分子平均移動動能為 $$E_k=\displaystyle\frac{3kT}{2}$$（$$k$$ 為波茲曼常數，$$T$$ 為絕對溫度），

因此 $$n$$ 莫耳的單原子理想氣體內能即為 $$E_{int}=\displaystyle(nN_A)\frac{3}{2}kT=\frac{3}{2}n(N_Ak)T=\frac{3}{2}nRT$$

其中 $$N_A$$ 為亞佛加厥常數，$$R$$ 為理想氣體常數，$$T$$ 為絕對溫度。

我們假定在體積固定為 $$V$$ 的密閉系統中，有 $$n$$ 莫耳的理想氣體，當我們給予熱量 $$Q$$ 進入系統中，氣體溫度因而增加 $$\Delta T$$，則 $$Q=nC_V\Delta T$$，$$C_V$$ 為一個常數，稱為定容莫耳比熱。

根據熱力學第一定律，$$\Delta E_{int}=Q-W$$（$$W$$ 為系統對外作的功），由於在對氣體加熱過程中，氣體體積維持不變，因此系統對外界作的功為零，也就是氣體自外界吸收的熱量 $$Q$$，完全轉變為系統的內能 $$E_{int}$$，因此

$$\displaystyle C_V=\frac{\Delta E_{int}}{n\Delta T}~~~~~~~~~~(1)$$

又 $$\displaystyle E_{int}=\frac{3}{2}nRT$$，因此 $$\displaystyle \Delta E_{int}=\frac{3}{2}nR\Delta T$$，

代入  $$(1)$$ 式得 $$\displaystyle C_V=\frac{3}{2}R=12.5~J/mole\cdot K$$

上式適用於單原子氣體，而雙原子氣體（如：氧）及多原子氣體（如：甲烷）除了移動動能外，還需考慮轉動動能及振動動能，根據馬克士威爾提出的能量均分定理，任一種分子儲存能量的方式稱為自由度，而每一個自由度相當於每分子儲存 $$\frac{kT}{2}$$ 的能量。

對平移而言，由於分子在一空間內有 $$x$$、$$y$$、$$z$$ 三軸的速度分量，因此有三個平移的自由度，因此對應的分子平均動能為 $$2(\frac{kT}{2})$$，而對雙原子分子而言，另有兩個旋轉自由度，因此雙原子分子具有五個自由度，也就是說，雙原子分子的總內能為 $$E_{int}=N5\frac{kT}{2}=\frac{5nRTE_{int}}{2}$$（$$N$$ 為分子總個數），因此雙原子氣體分子的定容莫耳比熱 $$C_V=\frac{5}{2}R=20.8~J/mole\cdot K$$

參考資料：

1. David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, 普通物理（上）第八版，2009年2月