物理與數學「點」上的差異

物理與數學「點」上的差異 (Differences in the “Point” in Physics and Mathematics)
國立臺灣師範大學附屬高級中學物理科陳智勝老師/國立臺灣師範大學物理系蔡志申教授責任編輯

數學上的點 (points)，是指空間上的一個座標點，只有標定位置，該點不具體積。

數學和物理上有意義的點

物理學上標定物體位置所使用的點，和數學的用法相同。例如：物理上論述，某物體質心位置在 $$x=1$$，即代表該物體質心所在位置，位於座標點上 $$x=1$$ 的地方。

數學和物理上無意義的點

若某個函數在該點為不連續，

亦即 $$\lim\limits_{x\to a}f(x)\ne f(a)$$，討論 $$f(a)$$ 無意義，僅能討論該點的左右極限值 $$\lim\limits_{x\to a^+}f(x)$$、$$\lim\limits_{x\to a^-}f(x)$$

物理上某個物理量對空間的函數，若在該點不連續，則在物理上討論該點的物理量是無意義的。例如：均勻帶電金屬球（球半徑為 $$R$$，帶電量 $$Q$$），

其電場函數為 $$\left\{\begin{array}{ll}E(x)=0&,x<R\\E(x)=\frac{kQ}{x^2}&,x>R\end{array}\right.$$

討論 $$x=R$$ 處電場無意義，僅能討論 $$\lim\limits_{x\to R^+}E(x)=\frac{kQ}{R^2}$$，$$\lim\limits_{x\to R^-}E(x)=0$$

物理上有意義的點，但不能以數學點解釋

物理上所描述的「點」仍可以具有體積、質量、表面積等物理量。此處的點在做分析上，並不能完全等同於數學上不計體積的座標點。

例1：數學上的兩個點可以重疊，但物理上所討論的質點，其距離不可為 $$0$$，倘若如此，兩點間的萬有引力 $$\frac{GMm}{R^2}=\infty$$，並不合理。

例2：物理上探討液面下某個點的壓力，仍假設該點具有體積，因此上下左右各面皆可計算其壓力。以數學方程式表達該點的壓力即 $$P=\displaystyle\lim_{\vartriangle{A}\rightarrow{0}}\frac{F_{\perp}}{A}$$。若以數學的點來看，該點的面積為 $$0$$，則 $$P=\frac{F_{\perp}}{A}$$ 無意義。

例3：平行光經過薄透鏡會聚於屏幕焦點上，但屏幕上該點仍有面積。若以數學的點來看，光線會聚於一點，根據 照度=光通量/面積，若該點面積為 $$0$$，則照度為無限大。

例4：透過細繩拉一物體作等加速度運動，探討繩上某點張力。若以數學點來看，則該點合力為 $$0$$（因為 $$T_1=T_2$$），該點應靜止不動。又該點質量亦為 $$0$$，根據 $$a=\frac{F}{m}=\frac{0}{0}$$，無法計算該點加速度大小。

所以用數學的點來討論，不論如何討論，皆與事實矛盾。若以物理觀點來看該點，該點仍具質量，該點加速度應為 $$a=\displaystyle\lim_{\vartriangle{m}\rightarrow{0}}\frac{T_1-T_2}{m}$$。

例5：兩質點間作斜向彈性碰撞，已知質點質量為 $$m_1$$、$$m_2$$，初速度為  $$\bar{v_1}$$、$$\bar{v_2}$$。

若將質點視為數學上無體積的點，則無法計算出碰撞後兩質點的末速（無唯一解）。若考慮質點半徑，將速度作連心線方向的分解，即可解出兩質點碰撞後的末速。在氣體動力論中的理想氣體，雖然假定氣體分子的體積可以忽略不計，但其質點仍不能假定為數學上無體積的點。

參考資料
1.維基百科–極限（數學）  http://en.wikipedia.org/wiki/Limit_(mathematics)