作功與能量（Work and Energy）

作功與能量（Work and Energy）
國立彰化高級中學物理科劉翠鵑老師/國立臺灣師範大學物理系蔡志申教授責任編輯

以物體 $$m$$ 自由落下為例，從兩個不同系統來討論作功與能量關係。

系統 $$\rightarrow$$ 物體 $$m$$

落下過程，物體所受外力只有重力（不計阻力），重力作功 $$W_g=mgh$$。

系統的能量 $$E$$ 即物體的動能 $$K$$。需提醒的是，位能是物體與地球共有的，亦即當考慮的系統只有物體 $$m$$ 時，系統的能量不會出現位能。

則系統總能量變化 $$\Delta E=\Delta K=K_f-K_i$$

由功能定理可得，$$W_g=mgh=\Delta K~~~~~~~~~(1)$$

系統 $$\rightarrow$$ 物體 $$m$$ $$+$$ 地球

落下過程，重力是物體與地球間的交互作用力，亦即沒有外力作用（不計阻力），$$W=0$$

系統的能量 $$E$$ 即物體的動能 $$K$$ $$+$$ 地球與物體共有的位能 $$U_g$$（地球視為靜止），故系統總能量變化 $$\Delta E=\Delta K+\Delta U$$。

由功能定理可得，$$W=0=\Delta K+\Delta U$$。

代表落下過程中，物體的動能逐漸增加，而位能逐漸減少，且 $$\Delta K=-\Delta U~~~~~~~~~(2)$$

綜合以上討論，功能定理有個簡單的原則，一旦考慮了重力、電力、彈力等保守力作功，即把保守力視為外力，此時系統的能量不應該包含位能；反之，若考慮了位能，即把保守力視為內力，內力作功並不會改變系統總能量，但可使不同形式的能量互相轉換。

另外，若結合了兩個不同系統所得結論（等式 $$(1)$$ 與 $$(2)$$），可得出 $$W_g=-\Delta U$$，等式左邊代表作功，右邊代表能量變化，但這可不是功能定理，千萬不可誤以為重力作功會導致重力位能減少。這個等式可以這麼解釋，以物體為系統時重力所做的功，與以物體＋地球為系統時重力位能變化的負值，數值上是相等的。

同理，若施力 $$F$$ 將物體 $$m$$ 等速抬高至離地 $$h$$ 處（不計阻力），則 $$F=mg$$

系統 $$\rightarrow$$ 物體 $$m$$

外力作功 $$W=W_F+W_g=(Fh)+(-mgh)=0$$
系統內能量變化 $$\Delta E=\Delta K=0$$
符合功能定理

系統 $$\rightarrow$$ 物體 $$m$$ $$+$$ 地球

外力作功 $$W=W_F=Fh=mgh$$
系統內能量變化 $$\Delta E=\Delta K+\Delta U=0+mgh$$
符合功能定理

參考資料：
1. Halliday/ Resnick/ Walker，Fundamentals of Physics，Jearl John Wiley & Sons Inc