數學家如何看待證明？

數學家如何看待證明？(How mathematicians perceive the status of proof?)

國立臺灣師範大學數學系洪萬生退休教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生退休教授責任編輯

在《幾何學：歐幾里得及其進一步發展》(Geometry: Euclid and Beyond) 一書中，作者Robin Hartshorne在導論章第１節中，提問 “What exactly is a proof?” (p.10)，然後，提出他自己的答案 (pp. 10-13)，頗有啟發性，值得數學教師參考。

有關證明或論證，目前在國際數學教育界的研究現況中，是個極熱門的主題，這當然解釋了何以台灣師範大學數學系曾在2009年5月，接受國際數學教育心理學研究群 (International Study Group on Psychology of Mathematics Education，簡稱PME) 委託，舉辦ICMI Study-19 國際研討會。

不過，數學家對於證明的「現身說法」－特別是有關後設反思（meta-reflection）的層次，也非常值得注意。在本文中，我們專門介紹Robin Hartshorne 的觀點，聊供讀者參考借鏡。Hartshorne 是美國加州大學柏克萊分校的數學名師，除了傑出的研究成果之外，也以精彩的教學成效著稱。由此看來，Hartshorne 的觀點當然不會僅止於數學家的單純邏輯或認知的考量了。他一定同時考慮到教學法(pedagogy)面向，因此，更值得我們注意。

在回答上述「到底何所謂證明？」（What exactly is a proof？）時，Hartshorne先指出此一問題之答案取決於脈絡(context)！首先，當我們在討論一個著名的難題如已知在三角形 $$ABC$$ 中，如果 $$\overline{BD}$$ 與 $$\overline{CE}$$ 分別是 $$\angle{B}$$ 與 $$\angle{C}$$ 的角平分線，分別交於 $$\overline{AB}$$、$$\overline{AC}$$ 邊於點 $$D$$、$$E$$，而且 $$\overline{BD}=\overline{CE}$$，則三角形 $$ABC$$ 為等腰三角形（參考圖一）。

這一證明正如同Hartshorne所指出，如想利用高中幾何學的尋常方法來證明，則是令人意外地令人難以捉摸。針對這樣一個難題，只要有根據書本上的已知結果－不管這些方法來自（綜合）幾何、三角、解析幾何或甚至微積分－而得以顯示其為真，那麼，大部分人都將接受它為一個證明。

「在另一個脈絡中，一個證明可以被刻畫成為只是一個具有說服力的論述。」這種情況通常出現在你打算向另一個同樣一般背景的人，解說一個結果，而他還無法理解這個結果。Hartshorne的例子是求作一個圓內接正六邊形。為了說明證明的這種面向之意義，Hartshorne甚至還與他十七歲的兒子討論此一問題，其中當然涉及等邊三角形三個角相等與三角形內角和等於180 度等命題。

而為了證明最後這個命題，Hartshorne又提及它的先決條件，亦即與平行線同位角有關的命題。最後，Hartshorne下結論說：「證明的概念作為一種具有說服力的論證之所以行得通，完全依賴了你的聽眾是誰。不過，一旦你的聽眾不合作，那麼，你的說服將可能陷入無限後退 (infinite regress) 的危險情況之中。」換句話說，如果碰到你的聽眾像三歲小孩喜歡一路問為什麼，那麼，「恭喜了」，你可能就會忙得沒完沒了了。

如此一來，第三種以及更嚴格的證明概念，就應用在正如歐幾里得《幾何原本》這種論著的作者身上。這種證明又是什麼呢？正如同《幾何原本》一樣，我們必須先有不證自明(self-evident)的定義、設準(postulate)和公理 (common notion) 等，這些構成演繹的邏輯鍊結(logical chain)之起點的東西，然後，當你進行一個證明時，你必須透過一系列邏輯步驟，推演你將求證的結果，而這些步驟又只可以是那些先前已經得證的結果才行。

不過，Hartshorne 也指出：即使這種證明的概念，也不是絕對的，這是因為構成一個已知結果的可接受證明，將依賴那個結果落在這個邏輯系列中的位置而定。譬如說吧，根據Proclus的說法：歐幾里得發明了有關畢氏定理的全新證明，那麼，他只能將它安排在《幾何原本》第I 冊（共有48 個命題）結尾（命題I. 47，命題I. 48 為畢氏定理之逆定理）的地方，而不能利用相似三角形的邊比例關係 －這極可能是畢氏原創的方法，因為後者直到第IV 冊才出現。

誠然，學習第一、二種證明，應該都可望獲得相關知識內容的深層理解，它們顯然是解題活動(problem-solving)的學習目標之一，當然值得全力以赴。不過，要是一位從數學系畢業的學生對於第三種證明概念毫無感覺，那麼，期待他（她）們對於數學知識擁有比較嚴謹的系統性、結構性理解，不是緣木求魚嗎？其實，這種數學通識固然可以得自公設數學結構如抽象代數之薰陶，不過，只要翻開《幾何原本》，精讀第I 冊，大概就更容易達成了。古代數學經典 (mathematical classic)之為用，由此可見一斑。

參考文獻

1. Hartshorne, Robin (1997). Geometry: Euclid and Beyond. New York: Springer-Verlag.
2. Heath, Thomas L. (1956). Thirteen Books of Euclid’s Elements. New York: Dover Publications, INC.
3. Joyce, David: http://aleph0.clarku.edu/~djoyce.