俯角（Angle of Depression）

Posted on 2010/12/27 in 三角函數, 函數, 數學 with 有 1 則迴響。 8,095 views

俯角（Angle of Depression）
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

三角測量法中，眼睛往下看目標物時，視線與水平線間的夾角稱為俯角，如圖一所示，而俯角的求法可以透過量角器得到。

《九章算術》是中國數學史最富盛名的著作，其內容中第九章〈勾股章〉有利用勾股定理來解決俯角的幾何性質問題，如下：

題目：「今有井，徑五尺，不知其深。立五尺木於井上，從木末望水岸，入徑四寸。問井深幾何？」答曰：「五丈七尺五寸。」術曰：「置井徑五寸，以入徑四寸減之。餘，以乘立木五尺為實，以入徑四寸為法，實如法得一寸。此以入徑四寸為勾率，立木五尺為股率，井徑之餘四尺六寸為見勾。問井深者，見勾之股也。」

現代解法：如圖二所示，井深 $$DE$$、井徑 $$CD$$、立木 $$AC$$ 入徑 $$BC$$，由於 $$\triangle{ABC}\sim\triangle{EBD}$$，因此，$$\overline{BC}:\overline{AC}=\overline{BD}:\overline{DE}$$，得

唐初著名的數學家李淳風（602~670）也曾對俯角測量法提出自已的解題之道，如《海島算經》載：

唐今有望清淵，淵下有白石。偃矩岸上，令句高三尺。斜望水岸，入下股四尺五寸。望白石，入下股二尺四寸。又設重矩于上，其間相去四尺。更從句端斜望水岸，入上股四尺。以望白石，入上股二尺二寸。問水深幾何？

答曰：一丈二尺。

李淳風的解法如下：「此術以望水上、下股相減，餘五寸，以乘望石上股二十二寸，得一百一十寸，即是上率。又置望石上股，減望石下股，餘有二寸，以乘望水上股四十寸，得八十寸，即是下率。二率相減，餘有三十寸，以乘矩間四十寸，得一千二百寸，為實。又以二差二、五相乘，得十，為法。除實，退位二等，即是水深一丈二尺也。」

如圖三所示：其中 $$A$$ 標誌水岸，$$S$$ 標誌白石，$$C$$ 標誌岸邊；此題用兩個句，一個在 $$C$$，一個在 $$D$$，各測量水岸和水底白石，此題用四次測望術，李淳風用很完整的算學計算，表達此題「今有望清淵，淵下有白石」的測量意涵。