橢圓齒輪（Elliptical Gear）

橢圓齒輪（Elliptical Gear）
台北市立大直高級中學數學科高子婷老師/國立台灣大學數學系翁秉仁教授責任編輯

擁有無限多條對稱軸的「圓」堪稱是世界上最對稱的圖形了，所以在一般印象裡，我們熟悉的齒輪都是圓形。任兩個圓形齒輪隨意擺在一起，只要一開始它們是相切的，那麼只要以它們的圓心為軸旋轉，在旋轉的過程中它們仍然會保持相切。「保持相切」是讓齒輪順利轉動的自然想法，不論任何大小的「圓對」都能輕易達成此要求；然而，並不是隨便的圖形都這麼得天獨厚，若把圓稍微壓扁一點，得到兩個「橢圓」，將它們相切在一起，以中心為軸旋轉，它們並不會一直黏在一起，甚至會有卡到（相交兩點）的情況，右圖即是兩個同樣大小橢圓碰不到的情況。

那麼有沒有橢圓齒輪呢？答案是有的。我們利用橢圓定義「到兩焦點的距離和定值」，讓兩橢圓旋轉時滿足「兩軸心與切點的距離和為定值」，既然以橢圓的中心旋轉會有問題，我們改為各選一個焦點為軸心，如圖，紫色橢圓以 $$D$$ 點為軸心旋轉，橘色橢圓以 $$A$$ 點為軸心旋轉，其中 $$A$$、$$B$$、$$C$$、$$D$$ 為兩個橢圓的焦點，以下為其旋轉的過程。

若想欣賞真正的橢圓齒輪，可參考以下影片：http://www.youtube.com/watch?v=k6V4RU_dTqw

要怎麼擺放橢圓齒輪呢？如圖，先擺定橘橢圓後，在其上任找一點 $$E$$，延長 $$\overline{AE}$$，並在 $$\overrightarrow{AE}$$ 上找一點 $$D$$ 使 $$\overline{EB}=\overline{ED}$$，再將紫橢圓由右輕靠，就大功告成了。

稍微觀察此設計，因為 $$\overline{EB}=\overline{ED}$$，故 $$\overline{AE}+\overline{ED}=\overline{AE}+\overline{EB}=2a=\overline{CE}+\overline{ED}$$，即切點 $$E$$ 到 $$A$$、$$D$$ 的距離和為定值 $$2a$$（長軸長），又 $$\overline{AE}=\overline{CE}$$，則 $$E$$ 點恆在 $$\overline{AC}$$、$$\overline{BD}$$ 的中垂線上，即此兩橢圓的內公切線上，或許這就是兩橢圓相切的祕密！