橢圓規（Ellipsograph）

橢圓規（Ellipsograph）
台北市立大直高級中學數學科高子婷老師∕國立台灣大學數學系翁秉仁教授責任編輯

利用簡單定義的橢圓規

圓規的原理是利用圓的定義「到定點（圓心）距離等於定值（半徑），在課堂上只需要一條無彈性的線加上教師的手固定圓心即可。想仿造圓規利用橢圓定義「到兩定點（焦點）距離和等於定值（長軸長）製造橢圓規，卻沒那麼容易：用兩隻手固定焦點後，還得生出第三隻手畫圖，就算真有神來一手（例如磁鐵）能同時固定兩個焦點，實際上畫圖時，線也會不斷卡住。有人腦筋動得快，線不固定在焦點，將定義引申為「到兩焦點距離和加上兩焦點距離等於定值」，便成了最簡易版橢圓規，如圖，只要隨時繃緊三線段，就能畫出橢圓。

利用參數式的橢圓規

另一種製造橢圓規的方法是利用參數式，簡圖如下，其中規臂 \(\overline{AP}=a\)，\(\overline{BP}=b\)，\(P\) 點為筆尖所在位置；畫橢圓時先固定十字底座，調整 \(B\) 點位置後將之鎖緊在規臂上，即可開始旋轉規臂，旋轉同時 \(A\) 點保持在縱軸滑動、\(B\) 點保持在橫軸滑動，當規臂轉完 \(360^\circ\)時，\(P\) 點的軌跡即為橢圓，且此橢圓的半長軸為 \(a\)、半短軸長為 \(b\)。

簡單說明此軌跡為橢圓：

若以十字中央為原點，十字橫向為 \(x\) 軸、縱向為 \(y\) 軸架一直角坐標系，並設 \(\theta\) 為以 \(x\) 軸為始邊、規臂 \(\overline{AP}\) 為終邊之廣義角，不難看出 \(P\) 點坐標為 \((a\cos\theta,b\sin\theta)\)，即方程式為 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) 的橢圓參數式。其中 \(a\) 為橢圓的半長軸長、\(b\) 為半短軸長。

網路上許多這類型的橢圓規，在此提供一段youtube的影片給大家欣賞。http://www.youtube.com/watch?v=1AeAtP5Hz_Y

利用圓錐截痕的橢圓規

在一九九九年大陸的科學展覽中，曾經出現另一款利用圓錐截痕的橢圓規，其設計概念如圖（數學教育　第十三期　12/2001），母線斜著固定於紙張後，筆沿著垂直母線的圓盤畫一圈，即能畫出橢圓；此畫法簡潔有力，不過細心的人或許注意到，筆臂的長度在畫的過程中必須不斷改變，所以這大概是為什麼我們比較看不到此種橢圓規。想看筆臂伸縮畫橢圓的示意動畫，可上網觀看youtube的影片 http://www.youtube.com/watch?v=46duczd1d6U。

其他類型的橢圓規

寫過圓錐曲線練習題的人都知道，許多種「軌跡」題目的答案都是橢圓，每一種理論上都能發展成橢圓規；最後提供兩個有趣的橢圓規，其一是利用圓的內擺線，在此提供youtube連結，http://www.youtube.com/watch?v=AgQZlfIvM1Y；其二是毛爾在「毛起來說三角」畫裡提到的Brown’s Ellipsograph，也非常神奇，有興趣的人可以參考臺北市大同高中吳新吉老師的文章—「一件神奇的Brown’s Ellipsograph橢圓規」。