《筭數書》：超過兩千年的漢簡數學書（Suan Shu Shu: Han Bamboo Math Text over Two Thousand years）

《筭數書》：超過兩千年的漢簡數學書（Suan Shu Shu: Han Bamboo Math Text over Two Thousand years）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

目前在全世界的古代出土文物中，超過兩千年的數學文本可以說是鳳毛麟角。近二十年來，在中國發現的秦簡《數》與漢簡《筭數書》，就是極珍貴的例外，非常值得我們一起來分享這些世界文化遺產的價值與意義。在本文中，我們只介紹《筭數書》。

《筭數書》出土於公元一九八四年初中國湖北省張家山漢墓第247號（墓主不詳，是西漢初地方政府小吏）。根據陪葬的《曆譜》的最後一年（亦即西漢呂后二年，公元前186年）記載，它的問世不會晚於當年，也就是說，它是距今最少2197年抄寫的一部竹簡。從這一座漢墓，考古學家總共挖掘出來了八部竹簡，除了上述的《筭數書》與《曆譜》外，還包括《二年律令》、《奏讞書》、《蓋廬》、《脈書》、《引書》與《遣冊》。

《筭數書》出「土」時，竹簡失去了完整的捲束狀態，使得它的編次，變成了現代考古學家與數學史家的「還原」的最大挑戰。所幸，由於數學文本有其「內稟的」(intrinsic) 知識邏輯性，因此，考古學家在初步還原之後，我們針對這份文本校勘時，顯然多了關鍵的憑藉或參考。換句話說，即使前後兩枚竹簡（或上下文）還原連綴後可以讀得「通」，但是，卻明顯地違背了算理，那麼，我們就必須放棄而另尋他途。

根據考古學家的報導，「《筭數書》竹簡共有一百九十枚，簡長29.6-30.4厘米，寬0.6-0.7厘米。編線三道，上中各一道。全書編成一卷。」至於文字都以毛筆書寫於竹黃那一面，只有書名『筭數書』例外，它寫在全書第一題的末簡（第六支）竹簡背面，頂端還塗上黑色方塊，以作為標誌用。上編線之上如有文字，則屬於本書的「題名」，如第一題的「相乘」。正文寫在上、下編線之間。至於下編線之下所出現的「楊」、「王」、「楊已讎」或「王已讎」，應該是指楊某或王某的兩人曾擔任抄寫或校對工作，可惜，楊、王兩人的身分與墓主一樣，我們無從得知。

另一方面，抄寫者何以連同代表「鉤識」的記號如「﹂」也一併抄寫，這就有一點奇怪了。或許這是由於算題或算法的斷句，對於初學者而言相當重要而且不可或缺吧！除了上述的鉤識記號之外，《筭數書》文本中還有表示文字或文句重複的重文號「₌」，以及另起一段文字的墨點「‧」。

按照目前整理的情況，《筭數書》分為 69 題，其題名與相關數學內容如下：

1. 相乘：與現在意義同
2. 分乘：分數相乘
3. 乘：與現在意義同
4. 矰（增）減分：將分數變大、變小
5. 分當半者：分數如何折半
6. 分半者：續前題
7. 約分：與現在意義同
8. 合分：分數相加（將分數「合」在一起）
9. 徑分：分數相除，後來稱作「經分」
10. 出金：出黃金多少，分數減法
11. 共買材：共同買木材
12. 狐出關：狐皮等出關的關稅
13. 狐皮：類似前一題
14. 負米：背著米出關的關稅
15. 女織：女人的織布量
16. 并租：合併一起計算租金
17. 金價（賈）：黃金價錢
18. 舂粟：舂粟米的損耗量
19. 銅秏（耗）：鑄銅時的損耗量
20. 傳馬：驛站用馬匹的芻稾草料供應
21. 婦織：三婦人織布
22. 羽矢：在箭竿尾部裝羽毛
23. 桼（漆）錢：買漆的錢
24. 繒幅：繒布幅寬
25. 息錢：利息錢
26. （飲）桼（漆）：往盛儲生漆的容器注水
27. 稅田：田地租稅
28. 程竹：竹子量計的標準規定
29. 醫：對醫治病者的考核。
30. 石 [彳率亍]（率）：以石為單位進行計算
31. 賈鹽：賣鹽
32. 絲練：煮沸脫去絲膠的熟絲
33. 挐脂：已糅成的米膏
34. 取程：選取計量
35. 秏租：稻禾的租費
36. 程禾：糧食的比例換算規定
37. 取枲程：取粗麻的量
38. 誤券：租卷所列租數與應收數有誤
39. 租吳（誤）券：誤卷之後的租數
40. 粺毀（毇）：兩種精細程度不同的米
41. 秏：損耗
42. 粟為米：粟換算為米
43. 粟求米：同前題
44. 粟求米：同前題
45. 米求粟：米換算成粟
46. 米粟并：米、粟合併
47. 粟米并：同前一題
48. 負炭：背著木炭
49. 盧唐：竹筩製作
50. 羽矢：同第 22 題
51. 行：行走問題
52. 分錢：利用「盈不足術」解的分錢問題
53. 米出錢：買米出錢
54. 除：墓道
55. 斬都（塹堵）：即芻甍，本義即為屋脊形的草垛
56. 芻：即芻童，截頂長方錐體形狀的草垛
57. 旋粟：粟米堆積呈圓錐體狀
58. 囷蓋：圓形穀倉之蓋
59. 睘（圜）亭：截頂圓錐體
60. 井材：木材豎置井或地窖中呈圓柱狀
61. 以睘（圜）材方：將圓木裁成為方木
62. 以方裁睘（圜）：將方木裁成為圓木
63. 睘（圜）材：圓柱形的木材
64. 啟廣：已知長方形及其長，求寬
65. 啟從（縱）：已知長方形及其寬，求長
66. 少廣：已知長方形及其較短的廣，求較長的縱
67. 大廣：邊長兼容整數、分數與帶分數的田地面積計算
68. 方田：已知正方形求邊長
69. 里田：將邊長以里為單位的田地之面積，折算為頃畝的方法

現在，簡要說明各題內容。 第1-10 題的內容無非是分數加、減、乘、除的運算，除了第 10 題之外，其他都未曾包括問題「情境」。在算書中這種對於分數運算的開宗明義編排，或許反映了古代中國人對於此一主題的重視，無怪乎後來的魏晉劉徽在註解《九章算術》時，會強調「故為術者，先治諸分」，也就是說，學習數學的方法，必須先處理分數運算的問題。

第11-51題都是有關比例的實用問題。我們從每個題名的說明，即可發現這些問題果然出自實用需求。此外，明白地指出運用特定方法如「贏（盈）不足術」來解的問題，則有第52，53，68三題 － (52) 分錢：利用「盈不足術」解的分錢問題；(53) 米出錢：買米出錢；(68) 方田：給定正方形求邊長。這些問題是否出自實用背景，還是出自數學趣味的考量，我們目前還無法確定。

有關體積計算的問題，本書有十題（第54-63題）涉及墓道的形狀與大小、草垛體積、糧倉容積計算等等，應該都離不開實用需求。有關「少廣」問題，則有下列第64-66三題 － (64) 啟廣：已知長方形及其長，求寬；(65) 啟縱：已知長方形及其寬，求長；(66) 少廣：已知長方形及其較短的廣，求較長的縱，其中所運用的面積與長度單位，都出自秦漢田畝制度。只是，為何本書（佔23枚竹簡）以及後來的《九章算術》（第四章「少廣」）花這麼多篇幅，來舉例說明此一方法呢？我們還無從得知，或許這些計算最是關乎實用吧！

相對應地，有關（長方形田畝）面積之計算，有下列兩題 － (67) 大廣：邊長兼容整數、分數與帶分數的田地面積計算；(69) 里田：將邊長以里為單位的田地之面積折算為頃畝的方法。這兩類問題在東漢《九章算術》中，被歸入第一章「方田」。不過，《九章算術》這一章也收入分數四則運算，其內容涵蓋了前述《筭數書》的第 1-10 個單元，顯然前書的抄寫祖本也認為這些算法乃是算學的根本。但是，為了適應「九」章 － 呼應《周禮》所強調的「九數」－來安排材料，所以，或許才放棄將分數四則運算至於全書之首的成規吧！

最後，茲引述「約分」（第7題）與「方田」（第68題），略見《筭數書》之趣味於一斑。「約分術曰：以子除母，母亦除子，子母數交等者，即約之矣。有（又）曰，約分術曰：可半，半之，可令若干一，若干一。其一術曰：以分子除母，少，以母除子，子、母等，以為法，子、母各如法而成一。不足除者，可半，半母亦半子。二千一十六分之百六十二，約之百一十二分之九。」

本題「約分術」實質上是一個「輾轉相除法」，讀者或願利用現代算式，將上述問題解法，翻譯成白話文，並比較其異同。不過，也請注意這些分子、分母的唸法，譬如 $$2016$$ 讀作「二千一十六分之百六十二」，其中「零」字尚未出現。

「方田：田一畝方以幾何步？曰：方十五步卅一分步十五。术曰：方十五步不足十五步，方十六步有徐（餘）十六步。曰：并贏（盈）、不足以為法，不足子乘贏（盈）母，贏（盈）子乘不足母，并以為實。復之，如啟廣之术。」本題利用「贏（盈）不足術」來解。

不過，讀者或有興趣利用現代算法求解。事實上，這是求平方根近似值的一種方法。或許讀者也願意延拓此一方法，以便尋找某些開方不盡根數之近似值。又，請問此一方法與微積分課本中的「牛頓法」(Newton method) 有關嗎？當然，這並不表示微積分是可以協助我們解讀此一方法意義的唯一憑藉，只是此一公式如何「想像」得到，還真是耐人尋味呢。

根據上文的簡要說明，《筭數書》堪稱非常具體地反映了中國古算的實用基調。不過，有關它的研究仍然方興未艾，尤其是它與可能稍後問世的算經《九章算術》之關係，更是引人注目。無論如何，我們通過這些文本（text），可以和兩千多年前的數學知識活動參與者（mathematical practitioner）對話，分享他們的數學關懷。這是現代人的福份，值得我們好好珍惜。

參考書目：

1. 洪萬生、林倉億、蘇惠玉、蘇俊鴻 (2006).《數之起源》，台北：台灣商務印書館。
2. 刘金华 (2008).《张家山汉简《算数书》研究》，香港：华夏文化艺术出版社。