數學諾貝爾獎的俄國勝利

數學諾貝爾獎的俄國勝利
知識通訊評論第42期

世紀數學難題之一的龐加萊猜想的證明，被預測將獲頒數學最高榮譽的費爾茲獎。

數學界最顯赫的獎項費爾茲獎 (Fields medals) 得主公布之前，總會先有些臆測。然而今年的謠言卻有個額外的面向：在八月二十二日於馬德里舉辦的國際數學家大會，將頒出的費爾茲獎其中之一，可能會給一個世紀難題的解答。

可望贏得該獎項的是研究龐加萊猜想 (Poincaré conjecture) 的俄羅斯數學家皮瑞曼 (Grigory ‘Grisha’ Perelman) 。現在已有三篇論文指出他對龐加萊猜想的證明是正確的，如果此證明能經過兩年詳查依然成立，那麼皮瑞曼至少亦可取得分享百萬美元數學大賞一部份的資格（詳見小欄《世紀數學難題和百萬美元大獎》）。

紐約哥倫比亞大學拓樸學家，也是最新一篇分析皮瑞曼研究成果的論文之共同作者摩根 (John Morgan) 表示，他完全相信皮瑞曼已經證出了龐加萊猜想。

龐加萊猜想是個對於三度空間表面的本質，看似簡單的陳述。但自從法國數學家龐加萊 (Henri Poincaré) 在一九○四年提出之後，就一直無法證明。

皮瑞曼於二○○二年在一個線上預印本伺服器貼出一篇論文，聲稱「提供一個關於此猜想的概略折衷證明」。皮瑞曼所謂的「此猜想」不只是指龐加萊猜想，而是廣泛許多的「幾何化猜想」 (geometrization conjecture) 定理，龐加萊的敘述則是幾何化猜想的一個特例。

幾何化猜想將稱為三維流型的三度空間表面，所有可能擁有的形式分類。龐加萊猜想描述一個稱為「簡單連通」 (simply connected) 流型的子集合之特性，特別是每個從表面上拉出的迴圈都能收縮成一點。

皮瑞曼利用由哥倫比亞大學的漢米爾頓 (Richard Hamilton) 發展出來，稱為「瑞奇流」 (Ricci flow) 的數學工具，來處理這個猜想。先前曾在莫斯科俄羅斯科學院史泰克洛夫數學研究所工作的皮瑞曼，推進漢米爾頓的研究成果，找到一個處理在利用瑞奇流研究表面變形時，所遭遇到某些問題的方法。

可能證明法的出現震撼了一小圈的數學家。美國康乃迪格州紐哈芬市耶魯大學的克萊那 (Bruce Kleiner) 表示，對於研究拓樸學的人們來說，可說是物換星移；這就像是某天早上醒來，發現發生了一場地震一樣。

「對於研究拓樸學的人們來說，可說是物換星移。 —- 克萊那」

皮瑞曼在貼出第一篇文章後又追加兩篇論文，在二○○三年春天還前往美國，對他的研究成果進行演講。從那之後他就從公眾眼前消失，讓其他數學家逐行查看他的論文，補充細節，在他的邏輯裡挑毛病。

身兼國際數學聯盟與菲爾茲獎委員會主席的包爾 (John Ball) 說，你要如何判定是否一切都正確無誤，所能做的就是讓領域裡的聰明才俊及專家閱讀它，然後得出一個意見。

有「數學界的諾貝爾獎」之稱的菲爾茲獎獎章。

已有三對受尊崇的數學家，為皮瑞曼的研究成果寫下書面的補充細節記錄。

美國安納堡市密西根大學的克萊那跟洛特 (John Lott) 於五月二十五日，在 arXiv 預印本伺服器貼出他們最新的論文。克萊那表示，曾經有一度他真的認為皮瑞曼的論證有問題，但那想法只持續了一兩週，然後問題就解決了。

麻省理工學院的摩根與田剛，在七月二十五日在 arXiv 發表一篇長達四百七十三頁的論文。

第三篇論文於六月發表於《亞洲數學期刊》，作者是美國賓州伯利恆市理海大學的曹懷東，以及中國廣州中山大學的朱熹平。這篇論文聲稱完成了這兩個猜想的證明，而不是單單充實皮瑞曼的研究成果而已。《亞洲數學期刊》的主編丘成桐爭論說這話不假，因為曹懷東跟朱熹平採用跟皮瑞曼有點出入的論證方式。

這三篇論文的出現，為皮瑞曼將獲頒菲爾茲獎的謠言加油添醋。菲爾茲獎每四年會頒發最多四個獎項給四十歲以下的數學家，皮瑞曼剛好符合在今年獲獎的資格。這不是說他就會參加馬德里的大會，組織大會的委員會邀請他做大會演說，但沒有收到回應。

即便如此，許多數學家仍然認為皮瑞曼會獲頒該獎。摩根表示他希望他們能把費爾茲獎頒給皮瑞曼，這實在是很重大的數學成就，如果獎不頒給他會很奇怪。這也有先例可循，先前有兩次菲爾茲獎頒給相當於更多維空間的龐加萊猜想之證明，一次是在一九六六年頒給史馬爾 (Stephen Smale) ，另一次在一九八六年頒給富瑞德曼 (Michael Freedman) 。

那麼二○○六年獎落誰家呢？摩根連同四千名來賓在八月下旬，馬德里的國際數學家大會開幕典禮宣布得獎人時得知。